Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37183 / 26561
↖ ↑ ↗
← N 32.245328°
E 24.252319°		 ← 516.64 m → N 32.245328°
E 24.257813°		 →
↑
516.62 m
↓
↑
516.62 m
↓
N 32.240682°
E 24.252319°		 ← 516.67 m →
266 916 m²		 N 32.240682°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567375183105469 y=0.405296325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567375183105469 × 216)
    floor (0.567375183105469 × 65536)
    floor (37183.5)     		tx = 37183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405296325683594 × 216)
    floor (0.405296325683594 × 65536)
    floor (26561.5)     		ty = 26561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37183 / 26561 ti = "16/37183/26561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37183/26561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37183 ÷ 216
    37183 ÷ 65536     		x = 0.567367553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26561 ÷ 216
    26561 ÷ 65536     		y = 0.405288696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567367553710938 × 2 - 1) × π
    0.134735107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42328282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405288696289062 × 2 - 1) × π
    0.189422607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.595088671883377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42328282} λ = 0.42328282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595088671883377))-π/2
    2×atan(1.81319171695654)-π/2
    2×1.06679173974158-π/2
    2.13358347948315-1.57079632675     		φ = 0.56278715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42328282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.252319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56278715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.245328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37183 KachelY 26561 0.42328282 0.56278715 24.252319 32.245328
    Oben rechts KachelX + 1 37184 KachelY 26561 0.42337870 0.56278715 24.257813 32.245328
    Unten links KachelX 37183 KachelY + 1 26562 0.42328282 0.56270606 24.252319 32.240682
    Unten rechts KachelX + 1 37184 KachelY + 1 26562 0.42337870 0.56270606 24.257813 32.240682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56278715-0.56270606) × R
    8.10900000000059e-05 × 6371000     		dl = 516.624390000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56278715-0.56270606) × R
    8.10900000000059e-05 × 6371000     		dr = 516.624390000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42328282-0.42337870) × cos(0.56278715) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.845771326495063 × 6371000     		do = 516.640666531033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42328282-0.42337870) × cos(0.56270606) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.845814588923654 × 6371000     		du = 516.667093449566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56278715)-sin(0.56270606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845771326495063-0.845814588923654)×R²
    abs(0.42337870-0.42328282)×4.32624285909844e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.32624285909844e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.32624285909844e-05×40589641000000     		ar = 266915.995737252m²