Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37182 / 38534
↖ ↑ ↗
← S 30.173625°
E 24.246826°		 ← 528.03 m → S 30.173625°
E 24.252319°		 →
↑
528.03 m
↓
↑
528.03 m
↓
S 30.178373°
E 24.246826°		 ← 528 m →
278 808 m²		 S 30.178373°
E 24.252319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567359924316406 y=0.587989807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567359924316406 × 216)
    floor (0.567359924316406 × 65536)
    floor (37182.5)     		tx = 37182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587989807128906 × 216)
    floor (0.587989807128906 × 65536)
    floor (38534.5)     		ty = 38534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37182 / 38534 ti = "16/37182/38534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37182/38534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37182 ÷ 216
    37182 ÷ 65536     		x = 0.567352294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38534 ÷ 216
    38534 ÷ 65536     		y = 0.587982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567352294921875 × 2 - 1) × π
    0.13470458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42318695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587982177734375 × 2 - 1) × π
    -0.17596435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.552808326418488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42318695} λ = 0.42318695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552808326418488))-π/2
    2×atan(0.575331819971842)-π/2
    2×0.522083615572103-π/2
    1.04416723114421-1.57079632675     		φ = -0.52662910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42318695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.246826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52662910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.173625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37182 KachelY 38534 0.42318695 -0.52662910 24.246826 -30.173625
    Oben rechts KachelX + 1 37183 KachelY 38534 0.42328282 -0.52662910 24.252319 -30.173625
    Unten links KachelX 37182 KachelY + 1 38535 0.42318695 -0.52671198 24.246826 -30.178373
    Unten rechts KachelX + 1 37183 KachelY + 1 38535 0.42328282 -0.52671198 24.252319 -30.178373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52662910--0.52671198) × R
    8.28800000000074e-05 × 6371000     		dl = 528.028480000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52662910--0.52671198) × R
    8.28800000000074e-05 × 6371000     		dr = 528.028480000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42318695-0.42328282) × cos(-0.52662910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864506267607943 × 6371000     		do = 528.029855343267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42318695-0.42328282) × cos(-0.52671198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864464607324278 × 6371000     		du = 528.00440975151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52662910)-sin(-0.52671198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864506267607943-0.864464607324278)×R²
    abs(0.42328282-0.42318695)×4.16602836643687e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16602836643687e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16602836643687e-05×40589641000000     		ar = 278808.084072804m²