Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37181 / 26539
↖ ↑ ↗
← N 32.347482°
E 24.241333°		 ← 516 m → N 32.347482°
E 24.246826°		 →
↑
516.05 m
↓
↑
516.05 m
↓
N 32.342841°
E 24.241333°		 ← 516.03 m →
266 292 m²		 N 32.342841°
E 24.246826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567344665527344 y=0.404960632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567344665527344 × 216)
    floor (0.567344665527344 × 65536)
    floor (37181.5)     		tx = 37181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404960632324219 × 216)
    floor (0.404960632324219 × 65536)
    floor (26539.5)     		ty = 26539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37181 / 26539 ti = "16/37181/26539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37181/26539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37181 ÷ 216
    37181 ÷ 65536     		x = 0.567337036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26539 ÷ 216
    26539 ÷ 65536     		y = 0.404953002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567337036132812 × 2 - 1) × π
    0.134674072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42309108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404953002929688 × 2 - 1) × π
    0.190093994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.59719789546666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42309108} λ = 0.42309108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.59719789546666))-π/2
    2×atan(1.81702017980968)-π/2
    2×1.06768319797846-π/2
    2.13536639595691-1.57079632675     		φ = 0.56457007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42309108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.241333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56457007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.347482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37181 KachelY 26539 0.42309108 0.56457007 24.241333 32.347482
    Oben rechts KachelX + 1 37182 KachelY 26539 0.42318695 0.56457007 24.246826 32.347482
    Unten links KachelX 37181 KachelY + 1 26540 0.42309108 0.56448907 24.241333 32.342841
    Unten rechts KachelX + 1 37182 KachelY + 1 26540 0.42318695 0.56448907 24.246826 32.342841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56457007-0.56448907) × R
    8.09999999999977e-05 × 6371000     		dl = 516.050999999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56457007-0.56448907) × R
    8.09999999999977e-05 × 6371000     		dr = 516.050999999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42309108-0.42318695) × cos(0.56457007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844818713681245 × 6371000     		do = 516.004938183625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42309108-0.42318695) × cos(0.56448907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844862050174627 × 6371000     		du = 516.031407583777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56457007)-sin(0.56448907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844818713681245-0.844862050174627)×R²
    abs(0.42318695-0.42309108)×4.33364933823954e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33364933823954e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33364933823954e-05×40589641000000     		ar = 266291.694280145m²