Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37180 / 27548
↖ ↑ ↗
← N 27.547241°
E 24.235840°		 ← 541.60 m → N 27.547241°
E 24.241333°		 →
↑
541.54 m
↓
↑
541.54 m
↓
N 27.542371°
E 24.235840°		 ← 541.62 m →
293 301 m²		 N 27.542371°
E 24.241333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567329406738281 y=0.420356750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567329406738281 × 216)
    floor (0.567329406738281 × 65536)
    floor (37180.5)     		tx = 37180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420356750488281 × 216)
    floor (0.420356750488281 × 65536)
    floor (27548.5)     		ty = 27548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37180 / 27548 ti = "16/37180/27548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37180/27548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37180 ÷ 216
    37180 ÷ 65536     		x = 0.56732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27548 ÷ 216
    27548 ÷ 65536     		y = 0.42034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56732177734375 × 2 - 1) × π
    0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42034912109375 × 2 - 1) × π
    0.1593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.500461232033386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42299520} λ = 0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500461232033386))-π/2
    2×atan(1.64948188916162)-π/2
    2×1.02579319580325-π/2
    2.05158639160651-1.57079632675     		φ = 0.48079006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48079006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.547241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37180 KachelY 27548 0.42299520 0.48079006 24.235840 27.547241
    Oben rechts KachelX + 1 37181 KachelY 27548 0.42309108 0.48079006 24.241333 27.547241
    Unten links KachelX 37180 KachelY + 1 27549 0.42299520 0.48070506 24.235840 27.542371
    Unten rechts KachelX + 1 37181 KachelY + 1 27549 0.42309108 0.48070506 24.241333 27.542371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48079006-0.48070506) × R
    8.50000000000017e-05 × 6371000     		dl = 541.535000000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48079006-0.48070506) × R
    8.50000000000017e-05 × 6371000     		dr = 541.535000000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42299520-0.42309108) × cos(0.48079006) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.886629812733014 × 6371000     		do = 541.599133320043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42299520-0.42309108) × cos(0.48070506) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.886669120313914 × 6371000     		du = 541.623144414011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48079006)-sin(0.48070506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886629812733014-0.886669120313914)×R²
    abs(0.42309108-0.42299520)×3.93075808997612e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.93075808997612e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.93075808997612e-05×40589641000000     		ar = 293301.388262914m²