Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37180 / 26749
↖ ↑ ↗
← N 31.367709°
E 24.235840°		 ← 521.57 m → N 31.367709°
E 24.241333°		 →
↑
521.53 m
↓
↑
521.53 m
↓
N 31.363019°
E 24.235840°		 ← 521.60 m →
272 022 m²		 N 31.363019°
E 24.241333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567329406738281 y=0.408164978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567329406738281 × 216)
    floor (0.567329406738281 × 65536)
    floor (37180.5)     		tx = 37180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408164978027344 × 216)
    floor (0.408164978027344 × 65536)
    floor (26749.5)     		ty = 26749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37180 / 26749 ti = "16/37180/26749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37180/26749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37180 ÷ 216
    37180 ÷ 65536     		x = 0.56732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26749 ÷ 216
    26749 ÷ 65536     		y = 0.408157348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56732177734375 × 2 - 1) × π
    0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408157348632812 × 2 - 1) × π
    0.183685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.577064397626236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42299520} λ = 0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577064397626236))-π/2
    2×atan(1.78080302039446)-π/2
    2×1.05913306307843-π/2
    2.11826612615685-1.57079632675     		φ = 0.54746980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54746980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.367709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37180 KachelY 26749 0.42299520 0.54746980 24.235840 31.367709
    Oben rechts KachelX + 1 37181 KachelY 26749 0.42309108 0.54746980 24.241333 31.367709
    Unten links KachelX 37180 KachelY + 1 26750 0.42299520 0.54738794 24.235840 31.363019
    Unten rechts KachelX + 1 37181 KachelY + 1 26750 0.42309108 0.54738794 24.241333 31.363019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54746980-0.54738794) × R
    8.18599999999892e-05 × 6371000     		dl = 521.530059999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54746980-0.54738794) × R
    8.18599999999892e-05 × 6371000     		dr = 521.530059999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42299520-0.42309108) × cos(0.54746980) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.85384429498301 × 6371000     		do = 521.572051279888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42299520-0.42309108) × cos(0.54738794) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.85388690258519 × 6371000     		du = 521.598078196739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54746980)-sin(0.54738794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85384429498301-0.85388690258519)×R²
    abs(0.42309108-0.42299520)×4.26076021798893e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.26076021798893e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.26076021798893e-05×40589641000000     		ar = 272022.290259948m²