Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37180 / 26573
↖ ↑ ↗
← N 32.189560°
E 24.235840°		 ← 516.96 m → N 32.189560°
E 24.241333°		 →
↑
516.94 m
↓
↑
516.94 m
↓
N 32.184911°
E 24.235840°		 ← 516.98 m →
267 244 m²		 N 32.184911°
E 24.241333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567329406738281 y=0.405479431152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567329406738281 × 216)
    floor (0.567329406738281 × 65536)
    floor (37180.5)     		tx = 37180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405479431152344 × 216)
    floor (0.405479431152344 × 65536)
    floor (26573.5)     		ty = 26573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37180 / 26573 ti = "16/37180/26573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37180/26573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37180 ÷ 216
    37180 ÷ 65536     		x = 0.56732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26573 ÷ 216
    26573 ÷ 65536     		y = 0.405471801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56732177734375 × 2 - 1) × π
    0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405471801757812 × 2 - 1) × π
    0.189056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.593938186292496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42299520} λ = 0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593938186292496))-π/2
    2×atan(1.8111068655384)-π/2
    2×1.06630506660347-π/2
    2.13261013320695-1.57079632675     		φ = 0.56181381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56181381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.189560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37180 KachelY 26573 0.42299520 0.56181381 24.235840 32.189560
    Oben rechts KachelX + 1 37181 KachelY 26573 0.42309108 0.56181381 24.241333 32.189560
    Unten links KachelX 37180 KachelY + 1 26574 0.42299520 0.56173267 24.235840 32.184911
    Unten rechts KachelX + 1 37181 KachelY + 1 26574 0.42309108 0.56173267 24.241333 32.184911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56181381-0.56173267) × R
    8.11399999999241e-05 × 6371000     		dl = 516.942939999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56181381-0.56173267) × R
    8.11399999999241e-05 × 6371000     		dr = 516.942939999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42299520-0.42309108) × cos(0.56181381) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.846290247009295 × 6371000     		do = 516.957649895154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42299520-0.42309108) × cos(0.56173267) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.84633346929321 × 6371000     		du = 516.984052291252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56181381)-sin(0.56173267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846290247009295-0.84633346929321)×R²
    abs(0.42309108-0.42299520)×4.32222839145124e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.32222839145124e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.32222839145124e-05×40589641000000     		ar = 267244.431804974m²