Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37179 / 26545
↖ ↑ ↗
← N 32.319634°
E 24.230347°		 ← 516.16 m → N 32.319634°
E 24.235840°		 →
↑
516.18 m
↓
↑
516.18 m
↓
N 32.314992°
E 24.230347°		 ← 516.19 m →
266 439 m²		 N 32.314992°
E 24.235840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567314147949219 y=0.405052185058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567314147949219 × 216)
    floor (0.567314147949219 × 65536)
    floor (37179.5)     		tx = 37179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405052185058594 × 216)
    floor (0.405052185058594 × 65536)
    floor (26545.5)     		ty = 26545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37179 / 26545 ti = "16/37179/26545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37179/26545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37179 ÷ 216
    37179 ÷ 65536     		x = 0.567306518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26545 ÷ 216
    26545 ÷ 65536     		y = 0.405044555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567306518554688 × 2 - 1) × π
    0.134613037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42289933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405044555664062 × 2 - 1) × π
    0.189910888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.596622652671219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42289933} λ = 0.42289933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.596622652671219))-π/2
    2×atan(1.81597525261431)-π/2
    2×1.06744017265077-π/2
    2.13488034530153-1.57079632675     		φ = 0.56408402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42289933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.230347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56408402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.319634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37179 KachelY 26545 0.42289933 0.56408402 24.230347 32.319634
    Oben rechts KachelX + 1 37180 KachelY 26545 0.42299520 0.56408402 24.235840 32.319634
    Unten links KachelX 37179 KachelY + 1 26546 0.42289933 0.56400300 24.230347 32.314992
    Unten rechts KachelX + 1 37180 KachelY + 1 26546 0.42299520 0.56400300 24.235840 32.314992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56408402-0.56400300) × R
    8.10199999999872e-05 × 6371000     		dl = 516.178419999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56408402-0.56400300) × R
    8.10199999999872e-05 × 6371000     		dr = 516.178419999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42289933-0.42299520) × cos(0.56408402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845078676220854 × 6371000     		do = 516.163720123476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42289933-0.42299520) × cos(0.56400300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845121990139181 × 6371000     		du = 516.190175735061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56408402)-sin(0.56400300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845078676220854-0.845121990139181)×R²
    abs(0.42299520-0.42289933)×4.33139183266817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33139183266817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33139183266817e-05×40589641000000     		ar = 266439.401568119m²