Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37178 / 26543
↖ ↑ ↗
← N 32.328917°
E 24.224853°		 ← 516.16 m → N 32.328917°
E 24.230347°		 →
↑
516.11 m
↓
↑
516.11 m
↓
N 32.324276°
E 24.224853°		 ← 516.19 m →
266 407 m²		 N 32.324276°
E 24.230347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567298889160156 y=0.405021667480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567298889160156 × 216)
    floor (0.567298889160156 × 65536)
    floor (37178.5)     		tx = 37178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405021667480469 × 216)
    floor (0.405021667480469 × 65536)
    floor (26543.5)     		ty = 26543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37178 / 26543 ti = "16/37178/26543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37178/26543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37178 ÷ 216
    37178 ÷ 65536     		x = 0.567291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26543 ÷ 216
    26543 ÷ 65536     		y = 0.405014038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567291259765625 × 2 - 1) × π
    0.13458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42280345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405014038085938 × 2 - 1) × π
    0.189971923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.596814400269699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42280345} λ = 0.42280345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.596814400269699))-π/2
    2×atan(1.81632349489414)-π/2
    2×1.06752118940099-π/2
    2.13504237880199-1.57079632675     		φ = 0.56424605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42280345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.224853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56424605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.328917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37178 KachelY 26543 0.42280345 0.56424605 24.224853 32.328917
    Oben rechts KachelX + 1 37179 KachelY 26543 0.42289933 0.56424605 24.230347 32.328917
    Unten links KachelX 37178 KachelY + 1 26544 0.42280345 0.56416504 24.224853 32.324276
    Unten rechts KachelX + 1 37179 KachelY + 1 26544 0.42289933 0.56416504 24.230347 32.324276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56424605-0.56416504) × R
    8.1010000000048e-05 × 6371000     		dl = 516.114710000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56424605-0.56416504) × R
    8.1010000000048e-05 × 6371000     		dr = 516.114710000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42280345-0.42289933) × cos(0.56424605) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.844992037090375 × 6371000     		do = 516.164636444831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42280345-0.42289933) × cos(0.56416504) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.845035356755228 × 6371000     		du = 516.191098326219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56424605)-sin(0.56416504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844992037090375-0.845035356755228)×R²
    abs(0.42289933-0.42280345)×4.33196648526035e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.33196648526035e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.33196648526035e-05×40589641000000     		ar = 266406.990479663m²