Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37177 / 28199
↖ ↑ ↗
← N 24.332082°
E 24.219360°		 ← 556.53 m → N 24.332082°
E 24.224853°		 →
↑
556.57 m
↓
↑
556.57 m
↓
N 24.327076°
E 24.219360°		 ← 556.56 m →
309 756 m²		 N 24.327076°
E 24.224853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567283630371094 y=0.430290222167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567283630371094 × 216)
    floor (0.567283630371094 × 65536)
    floor (37177.5)     		tx = 37177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430290222167969 × 216)
    floor (0.430290222167969 × 65536)
    floor (28199.5)     		ty = 28199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37177 / 28199 ti = "16/37177/28199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37177/28199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37177 ÷ 216
    37177 ÷ 65536     		x = 0.567276000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28199 ÷ 216
    28199 ÷ 65536     		y = 0.430282592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567276000976562 × 2 - 1) × π
    0.134552001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42270758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430282592773438 × 2 - 1) × π
    0.139434814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.438047388728073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42270758} λ = 0.42270758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438047388728073))-π/2
    2×atan(1.54967834296508)-π/2
    2×0.99773563455328-π/2
    1.99547126910656-1.57079632675     		φ = 0.42467494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42270758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.219360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42467494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.332082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37177 KachelY 28199 0.42270758 0.42467494 24.219360 24.332082
    Oben rechts KachelX + 1 37178 KachelY 28199 0.42280345 0.42467494 24.224853 24.332082
    Unten links KachelX 37177 KachelY + 1 28200 0.42270758 0.42458758 24.219360 24.327076
    Unten rechts KachelX + 1 37178 KachelY + 1 28200 0.42280345 0.42458758 24.224853 24.327076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42467494-0.42458758) × R
    8.73599999999808e-05 × 6371000     		dl = 556.570559999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42467494-0.42458758) × R
    8.73599999999808e-05 × 6371000     		dr = 556.570559999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42270758-0.42280345) × cos(0.42467494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911172713812987 × 6371000     		do = 556.533149954671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42270758-0.42280345) × cos(0.42458758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911208704806615 × 6371000     		du = 556.555132813408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42467494)-sin(0.42458758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911172713812987-0.911208704806615)×R²
    abs(0.42280345-0.42270758)×3.59909936277214e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59909936277214e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59909936277214e-05×40589641000000     		ar = 309756.084631602m²