Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37176 / 26831
↖ ↑ ↗
← N 30.982319°
E 24.213867°		 ← 523.64 m → N 30.982319°
E 24.219360°		 →
↑
523.70 m
↓
↑
523.70 m
↓
N 30.977609°
E 24.213867°		 ← 523.67 m →
274 237 m²		 N 30.977609°
E 24.219360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567268371582031 y=0.409416198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567268371582031 × 216)
    floor (0.567268371582031 × 65536)
    floor (37176.5)     		tx = 37176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409416198730469 × 216)
    floor (0.409416198730469 × 65536)
    floor (26831.5)     		ty = 26831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37176 / 26831 ti = "16/37176/26831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37176/26831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37176 ÷ 216
    37176 ÷ 65536     		x = 0.5672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26831 ÷ 216
    26831 ÷ 65536     		y = 0.409408569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409408569335938 × 2 - 1) × π
    0.181182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.569202746088547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42261171} λ = 0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.569202746088547))-π/2
    2×atan(1.76685785542864)-π/2
    2×1.0557698985019-π/2
    2.1115397970038-1.57079632675     		φ = 0.54074347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54074347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.982319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37176 KachelY 26831 0.42261171 0.54074347 24.213867 30.982319
    Oben rechts KachelX + 1 37177 KachelY 26831 0.42270758 0.54074347 24.219360 30.982319
    Unten links KachelX 37176 KachelY + 1 26832 0.42261171 0.54066127 24.213867 30.977609
    Unten rechts KachelX + 1 37177 KachelY + 1 26832 0.42270758 0.54066127 24.219360 30.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54074347-0.54066127) × R
    8.22000000000322e-05 × 6371000     		dl = 523.696200000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54074347-0.54066127) × R
    8.22000000000322e-05 × 6371000     		dr = 523.696200000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42261171-0.42270758) × cos(0.54074347) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.85732619966511 × 6371000     		do = 523.644357656319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42261171-0.42270758) × cos(0.54066127) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.857368511152834 × 6371000     		du = 523.670200995552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54074347)-sin(0.54066127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85732619966511-0.857368511152834)×R²
    abs(0.42270758-0.42261171)×4.23114877246e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.23114877246e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.23114877246e-05×40589641000000     		ar = 274237.327439549m²