Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37176 / 26712
↖ ↑ ↗
← N 31.541090°
E 24.213867°		 ← 520.55 m → N 31.541090°
E 24.219360°		 →
↑
520.57 m
↓
↑
520.57 m
↓
N 31.536408°
E 24.213867°		 ← 520.58 m →
270 993 m²		 N 31.536408°
E 24.219360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567268371582031 y=0.407600402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567268371582031 × 216)
    floor (0.567268371582031 × 65536)
    floor (37176.5)     		tx = 37176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407600402832031 × 216)
    floor (0.407600402832031 × 65536)
    floor (26712.5)     		ty = 26712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37176 / 26712 ti = "16/37176/26712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37176/26712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37176 ÷ 216
    37176 ÷ 65536     		x = 0.5672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26712 ÷ 216
    26712 ÷ 65536     		y = 0.4075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4075927734375 × 2 - 1) × π
    0.184814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.58061172819812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42261171} λ = 0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58061172819812))-π/2
    2×atan(1.7871313350672)-π/2
    2×1.06064609742349-π/2
    2.12129219484699-1.57079632675     		φ = 0.55049587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55049587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.541090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37176 KachelY 26712 0.42261171 0.55049587 24.213867 31.541090
    Oben rechts KachelX + 1 37177 KachelY 26712 0.42270758 0.55049587 24.219360 31.541090
    Unten links KachelX 37176 KachelY + 1 26713 0.42261171 0.55041416 24.213867 31.536408
    Unten rechts KachelX + 1 37177 KachelY + 1 26713 0.42270758 0.55041416 24.219360 31.536408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55049587-0.55041416) × R
    8.17100000000126e-05 × 6371000     		dl = 520.57441000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55049587-0.55041416) × R
    8.17100000000126e-05 × 6371000     		dr = 520.57441000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42261171-0.42270758) × cos(0.55049587) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.852265232341547 × 6371000     		do = 520.553180710715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42261171-0.42270758) × cos(0.55041416) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.852307972806833 × 6371000     		du = 520.579286064196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55049587)-sin(0.55041416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852265232341547-0.852307972806833)×R²
    abs(0.42270758-0.42261171)×4.2740465285962e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.2740465285962e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.2740465285962e-05×40589641000000     		ar = 270993.459962513m²