Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37174 / 27972
↖ ↑ ↗
← N 25.463115°
E 24.202881°		 ← 551.46 m → N 25.463115°
E 24.208374°		 →
↑
551.54 m
↓
↑
551.54 m
↓
N 25.458155°
E 24.202881°		 ← 551.48 m →
304 156 m²		 N 25.458155°
E 24.208374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567237854003906 y=0.426826477050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567237854003906 × 216)
    floor (0.567237854003906 × 65536)
    floor (37174.5)     		tx = 37174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426826477050781 × 216)
    floor (0.426826477050781 × 65536)
    floor (27972.5)     		ty = 27972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37174 / 27972 ti = "16/37174/27972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37174/27972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37174 ÷ 216
    37174 ÷ 65536     		x = 0.567230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27972 ÷ 216
    27972 ÷ 65536     		y = 0.42681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567230224609375 × 2 - 1) × π
    0.13446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42241996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42681884765625 × 2 - 1) × π
    0.1463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.459810741155579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42241996} λ = 0.42241996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459810741155579))-π/2
    2×atan(1.58377421335072)-π/2
    2×1.00760575656551-π/2
    2.01521151313101-1.57079632675     		φ = 0.44441519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42241996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.202881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44441519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.463115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37174 KachelY 27972 0.42241996 0.44441519 24.202881 25.463115
    Oben rechts KachelX + 1 37175 KachelY 27972 0.42251583 0.44441519 24.208374 25.463115
    Unten links KachelX 37174 KachelY + 1 27973 0.42241996 0.44432862 24.202881 25.458155
    Unten rechts KachelX + 1 37175 KachelY + 1 27973 0.42251583 0.44432862 24.208374 25.458155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44441519-0.44432862) × R
    8.6570000000008e-05 × 6371000     		dl = 551.537470000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44441519-0.44432862) × R
    8.6570000000008e-05 × 6371000     		dr = 551.537470000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42241996-0.42251583) × cos(0.44441519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902862247107108 × 6371000     		do = 551.457218527727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42241996-0.42251583) × cos(0.44432862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902899462759728 × 6371000     		du = 551.4799493932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44441519)-sin(0.44432862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902862247107108-0.902899462759728)×R²
    abs(0.42251583-0.42241996)×3.72156526202705e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72156526202705e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72156526202705e-05×40589641000000     		ar = 304155.58777215m²