Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37173 / 38221
↖ ↑ ↗
← S 28.676130°
E 24.197388°		 ← 535.87 m → S 28.676130°
E 24.202881°		 →
↑
535.93 m
↓
↑
535.93 m
↓
S 28.680950°
E 24.197388°		 ← 535.85 m →
287 183 m²		 S 28.680950°
E 24.202881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567222595214844 y=0.583213806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567222595214844 × 216)
    floor (0.567222595214844 × 65536)
    floor (37173.5)     		tx = 37173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583213806152344 × 216)
    floor (0.583213806152344 × 65536)
    floor (38221.5)     		ty = 38221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37173 / 38221 ti = "16/37173/38221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37173/38221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37173 ÷ 216
    37173 ÷ 65536     		x = 0.567214965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38221 ÷ 216
    38221 ÷ 65536     		y = 0.583206176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567214965820312 × 2 - 1) × π
    0.134429931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42232409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583206176757812 × 2 - 1) × π
    -0.166412353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.522799827256332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42232409} λ = 0.42232409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522799827256332))-π/2
    2×atan(0.592858321195307)-π/2
    2×0.535151717009722-π/2
    1.07030343401944-1.57079632675     		φ = -0.50049289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42232409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.197388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50049289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.676130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37173 KachelY 38221 0.42232409 -0.50049289 24.197388 -28.676130
    Oben rechts KachelX + 1 37174 KachelY 38221 0.42241996 -0.50049289 24.202881 -28.676130
    Unten links KachelX 37173 KachelY + 1 38222 0.42232409 -0.50057701 24.197388 -28.680950
    Unten rechts KachelX + 1 37174 KachelY + 1 38222 0.42241996 -0.50057701 24.202881 -28.680950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50049289--0.50057701) × R
    8.41200000000208e-05 × 6371000     		dl = 535.928520000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50049289--0.50057701) × R
    8.41200000000208e-05 × 6371000     		dr = 535.928520000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42232409-0.42241996) × cos(-0.50049289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877346151246024 × 6371000     		do = 535.87229923763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42232409-0.42241996) × cos(-0.50057701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877305782484291 × 6371000     		du = 535.847642491673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50049289)-sin(-0.50057701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877346151246024-0.877305782484291)×R²
    abs(0.42241996-0.42232409)×4.03687617330784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03687617330784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03687617330784e-05×40589641000000     		ar = 287182.641282279m²