Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37171 / 28423
↖ ↑ ↗
← N 23.206009°
E 24.186401°		 ← 561.37 m → N 23.206009°
E 24.191894°		 →
↑
561.35 m
↓
↑
561.35 m
↓
N 23.200961°
E 24.186401°		 ← 561.39 m →
315 131 m²		 N 23.200961°
E 24.191894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567192077636719 y=0.433708190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567192077636719 × 216)
    floor (0.567192077636719 × 65536)
    floor (37171.5)     		tx = 37171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433708190917969 × 216)
    floor (0.433708190917969 × 65536)
    floor (28423.5)     		ty = 28423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37171 / 28423 ti = "16/37171/28423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37171/28423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37171 ÷ 216
    37171 ÷ 65536     		x = 0.567184448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28423 ÷ 216
    28423 ÷ 65536     		y = 0.433700561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567184448242188 × 2 - 1) × π
    0.134368896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42213234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433700561523438 × 2 - 1) × π
    0.132598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.416571657698288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42213234} λ = 0.42213234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416571657698288))-π/2
    2×atan(1.51675268443452)-π/2
    2×0.987908800605231-π/2
    1.97581760121046-1.57079632675     		φ = 0.40502127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42213234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.186401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40502127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.206009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37171 KachelY 28423 0.42213234 0.40502127 24.186401 23.206009
    Oben rechts KachelX + 1 37172 KachelY 28423 0.42222821 0.40502127 24.191894 23.206009
    Unten links KachelX 37171 KachelY + 1 28424 0.42213234 0.40493316 24.186401 23.200961
    Unten rechts KachelX + 1 37172 KachelY + 1 28424 0.42222821 0.40493316 24.191894 23.200961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40502127-0.40493316) × R
    8.81099999999746e-05 × 6371000     		dl = 561.348809999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40502127-0.40493316) × R
    8.81099999999746e-05 × 6371000     		dr = 561.348809999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42213234-0.42222821) × cos(0.40502127) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919094016178835 × 6371000     		do = 561.371384562202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42213234-0.42222821) × cos(0.40493316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919128731326614 × 6371000     		du = 561.392588149899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40502127)-sin(0.40493316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919094016178835-0.919128731326614)×R²
    abs(0.42222821-0.42213234)×3.47151477786412e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47151477786412e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47151477786412e-05×40589641000000     		ar = 315131.110200298m²