Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37170 / 38592
↖ ↑ ↗
← S 30.448674°
E 24.180908°		 ← 526.60 m → S 30.448674°
E 24.186401°		 →
↑
526.56 m
↓
↑
526.56 m
↓
S 30.453409°
E 24.180908°		 ← 526.58 m →
277 284 m²		 S 30.453409°
E 24.186401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567176818847656 y=0.588874816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567176818847656 × 216)
    floor (0.567176818847656 × 65536)
    floor (37170.5)     		tx = 37170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588874816894531 × 216)
    floor (0.588874816894531 × 65536)
    floor (38592.5)     		ty = 38592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37170 / 38592 ti = "16/37170/38592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37170/38592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37170 ÷ 216
    37170 ÷ 65536     		x = 0.567169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38592 ÷ 216
    38592 ÷ 65536     		y = 0.5888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567169189453125 × 2 - 1) × π
    0.13433837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42203646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5888671875 × 2 - 1) × π
    -0.177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.558369006774414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42203646} λ = 0.42203646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558369006774414))-π/2
    2×atan(0.572141462123288)-π/2
    2×0.519683359119876-π/2
    1.03936671823975-1.57079632675     		φ = -0.53142961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42203646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.180908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53142961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.448674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37170 KachelY 38592 0.42203646 -0.53142961 24.180908 -30.448674
    Oben rechts KachelX + 1 37171 KachelY 38592 0.42213234 -0.53142961 24.186401 -30.448674
    Unten links KachelX 37170 KachelY + 1 38593 0.42203646 -0.53151226 24.180908 -30.453409
    Unten rechts KachelX + 1 37171 KachelY + 1 38593 0.42213234 -0.53151226 24.186401 -30.453409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53142961--0.53151226) × R
    8.26499999999619e-05 × 6371000     		dl = 526.563149999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53142961--0.53151226) × R
    8.26499999999619e-05 × 6371000     		dr = 526.563149999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42203646-0.42213234) × cos(-0.53142961) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.862083473545203 × 6371000     		do = 526.604965698588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42203646-0.42213234) × cos(-0.53151226) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.862041586365951 × 6371000     		du = 526.579378853149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53142961)-sin(-0.53151226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862083473545203-0.862041586365951)×R²
    abs(0.42213234-0.42203646)×4.18871792519093e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.18871792519093e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.18871792519093e-05×40589641000000     		ar = 277284.033156856m²