Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37170 / 27082
↖ ↑ ↗
← N 29.792984°
E 24.180908°		 ← 530.11 m → N 29.792984°
E 24.186401°		 →
↑
530.13 m
↓
↑
530.13 m
↓
N 29.788217°
E 24.180908°		 ← 530.14 m →
281 036 m²		 N 29.788217°
E 24.186401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567176818847656 y=0.413246154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567176818847656 × 216)
    floor (0.567176818847656 × 65536)
    floor (37170.5)     		tx = 37170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413246154785156 × 216)
    floor (0.413246154785156 × 65536)
    floor (27082.5)     		ty = 27082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37170 / 27082 ti = "16/37170/27082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37170/27082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37170 ÷ 216
    37170 ÷ 65536     		x = 0.567169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27082 ÷ 216
    27082 ÷ 65536     		y = 0.413238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567169189453125 × 2 - 1) × π
    0.13433837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42203646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413238525390625 × 2 - 1) × π
    0.17352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.545138422479279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42203646} λ = 0.42203646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545138422479279))-π/2
    2×atan(1.72484712346769)-π/2
    2×1.04539099696989-π/2
    2.09078199393977-1.57079632675     		φ = 0.51998567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42203646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.180908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51998567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.792984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37170 KachelY 27082 0.42203646 0.51998567 24.180908 29.792984
    Oben rechts KachelX + 1 37171 KachelY 27082 0.42213234 0.51998567 24.186401 29.792984
    Unten links KachelX 37170 KachelY + 1 27083 0.42203646 0.51990246 24.180908 29.788217
    Unten rechts KachelX + 1 37171 KachelY + 1 27083 0.42213234 0.51990246 24.186401 29.788217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51998567-0.51990246) × R
    8.32100000000002e-05 × 6371000     		dl = 530.130910000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51998567-0.51990246) × R
    8.32100000000002e-05 × 6371000     		dr = 530.130910000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42203646-0.42213234) × cos(0.51998567) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.867826299880922 × 6371000     		do = 530.112979665144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42203646-0.42213234) × cos(0.51990246) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.86786764123798 × 6371000     		du = 530.138233094288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51998567)-sin(0.51990246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867826299880922-0.86786764123798)×R²
    abs(0.42213234-0.42203646)×4.13413570580223e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.13413570580223e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.13413570580223e-05×40589641000000     		ar = 281035.970286538m²