Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37170 / 26654
↖ ↑ ↗
← N 31.812229°
E 24.180908°		 ← 519.09 m → N 31.812229°
E 24.186401°		 →
↑
519.05 m
↓
↑
519.05 m
↓
N 31.807561°
E 24.180908°		 ← 519.12 m →
269 438 m²		 N 31.807561°
E 24.186401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567176818847656 y=0.406715393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567176818847656 × 216)
    floor (0.567176818847656 × 65536)
    floor (37170.5)     		tx = 37170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406715393066406 × 216)
    floor (0.406715393066406 × 65536)
    floor (26654.5)     		ty = 26654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37170 / 26654 ti = "16/37170/26654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37170/26654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37170 ÷ 216
    37170 ÷ 65536     		x = 0.567169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26654 ÷ 216
    26654 ÷ 65536     		y = 0.406707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567169189453125 × 2 - 1) × π
    0.13433837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42203646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406707763671875 × 2 - 1) × π
    0.18658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.586172408554047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42203646} λ = 0.42203646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586172408554047))-π/2
    2×atan(1.79709668255324)-π/2
    2×1.06301223281212-π/2
    2.12602446562424-1.57079632675     		φ = 0.55522814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42203646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.180908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55522814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.812229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37170 KachelY 26654 0.42203646 0.55522814 24.180908 31.812229
    Oben rechts KachelX + 1 37171 KachelY 26654 0.42213234 0.55522814 24.186401 31.812229
    Unten links KachelX 37170 KachelY + 1 26655 0.42203646 0.55514667 24.180908 31.807561
    Unten rechts KachelX + 1 37171 KachelY + 1 26655 0.42213234 0.55514667 24.186401 31.807561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55522814-0.55514667) × R
    8.14700000000279e-05 × 6371000     		dl = 519.045370000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55522814-0.55514667) × R
    8.14700000000279e-05 × 6371000     		dr = 519.045370000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42203646-0.42213234) × cos(0.55522814) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.849780201308617 × 6371000     		do = 519.089493644027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42203646-0.42213234) × cos(0.55514667) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.849823144354701 × 6371000     		du = 519.115725467283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55522814)-sin(0.55514667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849780201308617-0.849823144354701)×R²
    abs(0.42213234-0.42203646)×4.29430460843205e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29430460843205e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29430460843205e-05×40589641000000     		ar = 269437.806193826m²