Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3717 / 3984
↖ ↑ ↗
← N 79.400084°
W139.163818°		 ← 224.72 m → N 79.400084°
W139.152832°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
N 79.398064°
W139.163818°		 ← 224.76 m →
50 501 m²		 N 79.398064°
W139.152832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113449096679688 y=0.121597290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113449096679688 × 215)
    floor (0.113449096679688 × 32768)
    floor (3717.5)     		tx = 3717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121597290039062 × 215)
    floor (0.121597290039062 × 32768)
    floor (3984.5)     		ty = 3984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3717 / 3984 ti = "15/3717/3984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3717/3984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3717 ÷ 215
    3717 ÷ 32768     		x = 0.113433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3984 ÷ 215
    3984 ÷ 32768     		y = 0.12158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.77313232421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.42886683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12158203125 × 2 - 1) × π
    0.7568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42886683} λ = -2.42886683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37767022115479))-π/2
    2×atan(10.779759130856)-π/2
    2×1.47829461403695-π/2
    2.95658922807391-1.57079632675     		φ = 1.38579290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42886683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.163818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38579290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.400084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3717 KachelY 3984 -2.42886683 1.38579290 -139.163818 79.400084
    Oben rechts KachelX + 1 3718 KachelY 3984 -2.42867508 1.38579290 -139.152832 79.400084
    Unten links KachelX 3717 KachelY + 1 3985 -2.42886683 1.38575763 -139.163818 79.398064
    Unten rechts KachelX + 1 3718 KachelY + 1 3985 -2.42867508 1.38575763 -139.152832 79.398064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38579290-1.38575763) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dl = 224.705169999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38579290-1.38575763) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dr = 224.705169999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42886683--2.42867508) × cos(1.38579290) × R
    0.000191749999999935 × 0.183949901847889 × 6371000     		do = 224.720420130952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42886683--2.42867508) × cos(1.38575763) × R
    0.000191749999999935 × 0.183984569872794 × 6371000     		du = 224.762771950897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38579290)-sin(1.38575763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183949901847889-0.183984569872794)×R²
    abs(-2.42867508--2.42886683)×3.46680249055653e-05×R²
    0.000191749999999935×3.46680249055653e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.46680249055653e-05×40589641000000     		ar = 50500.598549407m²