Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3717 / 3720
↖ ↑ ↗
← S 81.201420°
E146.689453°		 ← 1 494.90 m → S 81.201420°
E146.777344°		 →
↑
1 493.74 m
↓
↑
1 493.74 m
↓
S 81.214853°
E146.689453°		 ← 1 492.63 m →
2 231 306 m²		 S 81.214853°
E146.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9075927734375 y=0.9083251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9075927734375 × 212)
    floor (0.9075927734375 × 4096)
    floor (3717.5)     		tx = 3717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9083251953125 × 212)
    floor (0.9083251953125 × 4096)
    floor (3720.5)     		ty = 3720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3717 / 3720 ti = "12/3717/3720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3717/3720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3717 ÷ 212
    3717 ÷ 4096     		x = 0.907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3720 ÷ 212
    3720 ÷ 4096     		y = 0.908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907470703125 × 2 - 1) × π
    0.81494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56021393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908203125 × 2 - 1) × π
    -0.81640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56481587727148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56021393} λ = 2.56021393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56481587727148))-π/2
    2×atan(0.0769333453153022)-π/2
    2×0.0767820992516802-π/2
    0.15356419850336-1.57079632675     		φ = -1.41723213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56021393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.689453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41723213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.201420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3717 KachelY 3720 2.56021393 -1.41723213 146.689453 -81.201420
    Oben rechts KachelX + 1 3718 KachelY 3720 2.56174792 -1.41723213 146.777344 -81.201420
    Unten links KachelX 3717 KachelY + 1 3721 2.56021393 -1.41746659 146.689453 -81.214853
    Unten rechts KachelX + 1 3718 KachelY + 1 3721 2.56174792 -1.41746659 146.777344 -81.214853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41723213--1.41746659) × R
    0.000234460000000158 × 6371000     		dl = 1493.74466000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41723213--1.41746659) × R
    0.000234460000000158 × 6371000     		dr = 1493.74466000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56021393-2.56174792) × cos(-1.41723213) × R
    0.00153398999999999 × 0.152961350526349 × 6371000     		do = 1494.89897112031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56021393-2.56174792) × cos(-1.41746659) × R
    0.00153398999999999 × 0.152729645409231 × 6371000     		du = 1492.63450535827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41723213)-sin(-1.41746659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152961350526349-0.152729645409231)×R²
    abs(2.56174792-2.56021393)×0.000231705117118286×R²
    0.00153398999999999×0.000231705117118286×6371000²
    0.00153398999999999×0.000231705117118286×40589641000000     		ar = 2231306.09874892m²