Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3717 / 2433
↖ ↑ ↗
← N 77.461259°
W 98.327637°		 ← 530.44 m → N 77.461259°
W 98.305664°		 →
↑
530.51 m
↓
↑
530.51 m
↓
N 77.456488°
W 98.327637°		 ← 530.63 m →
281 455 m²		 N 77.456488°
W 98.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226898193359375 y=0.148529052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226898193359375 × 214)
    floor (0.226898193359375 × 16384)
    floor (3717.5)     		tx = 3717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148529052734375 × 214)
    floor (0.148529052734375 × 16384)
    floor (2433.5)     		ty = 2433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3717 / 2433 ti = "14/3717/2433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3717/2433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3717 ÷ 214
    3717 ÷ 16384     		x = 0.22686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2433 ÷ 214
    2433 ÷ 16384     		y = 0.14849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.5462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71614101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14849853515625 × 2 - 1) × π
    0.7030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20854883929523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71614101} λ = -1.71614101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20854883929523))-π/2
    2×atan(9.10249761721864)-π/2
    2×1.46137517051926-π/2
    2.92275034103851-1.57079632675     		φ = 1.35195401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71614101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.327637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35195401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.461259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3717 KachelY 2433 -1.71614101 1.35195401 -98.327637 77.461259
    Oben rechts KachelX + 1 3718 KachelY 2433 -1.71575751 1.35195401 -98.305664 77.461259
    Unten links KachelX 3717 KachelY + 1 2434 -1.71614101 1.35187074 -98.327637 77.456488
    Unten rechts KachelX + 1 3718 KachelY + 1 2434 -1.71575751 1.35187074 -98.305664 77.456488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35195401-1.35187074) × R
    8.32699999999686e-05 × 6371000     		dl = 530.5131699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35195401-1.35187074) × R
    8.32699999999686e-05 × 6371000     		dr = 530.5131699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71614101--1.71575751) × cos(1.35195401) × R
    0.000383500000000092 × 0.217099697007265 × 6371000     		do = 530.435022054493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71614101--1.71575751) × cos(1.35187074) × R
    0.000383500000000092 × 0.217180980218041 × 6371000     		du = 530.633619575792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35195401)-sin(1.35187074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217099697007265-0.217180980218041)×R²
    abs(-1.71575751--1.71614101)×8.12832107753847e-05×R²
    0.000383500000000092×8.12832107753847e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.12832107753847e-05×40589641000000     		ar = 281455.444491162m²