Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37169 / 26706
↖ ↑ ↗
← N 31.569175°
E 24.175415°		 ← 520.40 m → N 31.569175°
E 24.180908°		 →
↑
520.38 m
↓
↑
520.38 m
↓
N 31.564495°
E 24.175415°		 ← 520.42 m →
270 812 m²		 N 31.564495°
E 24.180908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567161560058594 y=0.407508850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567161560058594 × 216)
    floor (0.567161560058594 × 65536)
    floor (37169.5)     		tx = 37169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407508850097656 × 216)
    floor (0.407508850097656 × 65536)
    floor (26706.5)     		ty = 26706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37169 / 26706 ti = "16/37169/26706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37169/26706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37169 ÷ 216
    37169 ÷ 65536     		x = 0.567153930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26706 ÷ 216
    26706 ÷ 65536     		y = 0.407501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567153930664062 × 2 - 1) × π
    0.134307861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42194059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407501220703125 × 2 - 1) × π
    0.18499755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.581186970993561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42194059} λ = 0.42194059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581186970993561))-π/2
    2×atan(1.78815966523361)-π/2
    2×1.0608911902534-π/2
    2.12178238050679-1.57079632675     		φ = 0.55098605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42194059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.175415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55098605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.569175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37169 KachelY 26706 0.42194059 0.55098605 24.175415 31.569175
    Oben rechts KachelX + 1 37170 KachelY 26706 0.42203646 0.55098605 24.180908 31.569175
    Unten links KachelX 37169 KachelY + 1 26707 0.42194059 0.55090437 24.175415 31.564495
    Unten rechts KachelX + 1 37170 KachelY + 1 26707 0.42203646 0.55090437 24.180908 31.564495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55098605-0.55090437) × R
    8.16799999999729e-05 × 6371000     		dl = 520.383279999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55098605-0.55090437) × R
    8.16799999999729e-05 × 6371000     		dr = 520.383279999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42194059-0.42203646) × cos(0.55098605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852008711948476 × 6371000     		do = 520.396501191571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42194059-0.42203646) × cos(0.55090437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852051470841187 × 6371000     		du = 520.422617800297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55098605)-sin(0.55090437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852008711948476-0.852051470841187)×R²
    abs(0.42203646-0.42194059)×4.27588927107703e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27588927107703e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27588927107703e-05×40589641000000     		ar = 270812.43366403m²