Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37168 / 38572
↖ ↑ ↗
← S 30.353916°
E 24.169922°		 ← 527.06 m → S 30.353916°
E 24.175415°		 →
↑
527.07 m
↓
↑
527.07 m
↓
S 30.358656°
E 24.169922°		 ← 527.04 m →
277 793 m²		 S 30.358656°
E 24.175415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567146301269531 y=0.588569641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567146301269531 × 216)
    floor (0.567146301269531 × 65536)
    floor (37168.5)     		tx = 37168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588569641113281 × 216)
    floor (0.588569641113281 × 65536)
    floor (38572.5)     		ty = 38572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37168 / 38572 ti = "16/37168/38572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37168/38572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37168 ÷ 216
    37168 ÷ 65536     		x = 0.567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38572 ÷ 216
    38572 ÷ 65536     		y = 0.58856201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58856201171875 × 2 - 1) × π
    -0.1771240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.556451530789612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42184472} λ = 0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556451530789612))-π/2
    2×atan(0.573239582109714)-π/2
    2×0.520510272618512-π/2
    1.04102054523702-1.57079632675     		φ = -0.52977578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52977578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.353916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37168 KachelY 38572 0.42184472 -0.52977578 24.169922 -30.353916
    Oben rechts KachelX + 1 37169 KachelY 38572 0.42194059 -0.52977578 24.175415 -30.353916
    Unten links KachelX 37168 KachelY + 1 38573 0.42184472 -0.52985851 24.169922 -30.358656
    Unten rechts KachelX + 1 37169 KachelY + 1 38573 0.42194059 -0.52985851 24.175415 -30.358656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52977578--0.52985851) × R
    8.27299999999198e-05 × 6371000     		dl = 527.072829999489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52977578--0.52985851) × R
    8.27299999999198e-05 × 6371000     		dr = 527.072829999489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42184472-0.42194059) × cos(-0.52977578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862920399510932 × 6371000     		do = 527.06122650478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42184472-0.42194059) × cos(-0.52985851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862878589790521 × 6371000     		du = 527.035689638886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52977578)-sin(-0.52985851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862920399510932-0.862878589790521)×R²
    abs(0.42194059-0.42184472)×4.18097204115675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18097204115675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18097204115675e-05×40589641000000     		ar = 277792.922501105m²