Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37168 / 38512
↖ ↑ ↗
← S 30.069094°
E 24.169922°		 ← 528.59 m → S 30.069094°
E 24.175415°		 →
↑
528.60 m
↓
↑
528.60 m
↓
S 30.073848°
E 24.169922°		 ← 528.56 m →
279 406 m²		 S 30.073848°
E 24.175415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567146301269531 y=0.587654113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567146301269531 × 216)
    floor (0.567146301269531 × 65536)
    floor (37168.5)     		tx = 37168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587654113769531 × 216)
    floor (0.587654113769531 × 65536)
    floor (38512.5)     		ty = 38512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37168 / 38512 ti = "16/37168/38512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37168/38512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37168 ÷ 216
    37168 ÷ 65536     		x = 0.567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38512 ÷ 216
    38512 ÷ 65536     		y = 0.587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587646484375 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.550699102835205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42184472} λ = 0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550699102835205))-π/2
    2×atan(0.576546604090031)-π/2
    2×0.522995817018753-π/2
    1.04599163403751-1.57079632675     		φ = -0.52480469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52480469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.069094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37168 KachelY 38512 0.42184472 -0.52480469 24.169922 -30.069094
    Oben rechts KachelX + 1 37169 KachelY 38512 0.42194059 -0.52480469 24.175415 -30.069094
    Unten links KachelX 37168 KachelY + 1 38513 0.42184472 -0.52488766 24.169922 -30.073848
    Unten rechts KachelX + 1 37169 KachelY + 1 38513 0.42194059 -0.52488766 24.175415 -30.073848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52480469--0.52488766) × R
    8.29700000000155e-05 × 6371000     		dl = 528.601870000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52480469--0.52488766) × R
    8.29700000000155e-05 × 6371000     		dr = 528.601870000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42184472-0.42194059) × cos(-0.52480469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86542181702994 × 6371000     		do = 528.589061733054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42184472-0.42194059) × cos(-0.52488766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865380242431455 × 6371000     		du = 528.563668476756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52480469)-sin(-0.52488766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86542181702994-0.865380242431455)×R²
    abs(0.42194059-0.42184472)×4.15745984854166e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.15745984854166e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.15745984854166e-05×40589641000000     		ar = 279406.455192873m²