Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37168 / 28159
↖ ↑ ↗
← N 24.532132°
E 24.169922°		 ← 555.65 m → N 24.532132°
E 24.175415°		 →
↑
555.68 m
↓
↑
555.68 m
↓
N 24.527135°
E 24.169922°		 ← 555.67 m →
308 770 m²		 N 24.527135°
E 24.175415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567146301269531 y=0.429679870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567146301269531 × 216)
    floor (0.567146301269531 × 65536)
    floor (37168.5)     		tx = 37168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429679870605469 × 216)
    floor (0.429679870605469 × 65536)
    floor (28159.5)     		ty = 28159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37168 / 28159 ti = "16/37168/28159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37168/28159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37168 ÷ 216
    37168 ÷ 65536     		x = 0.567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28159 ÷ 216
    28159 ÷ 65536     		y = 0.429672241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429672241210938 × 2 - 1) × π
    0.140655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.441882340697678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42184472} λ = 0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441882340697678))-π/2
    2×atan(1.55563269500826)-π/2
    2×0.999481403193872-π/2
    1.99896280638774-1.57079632675     		φ = 0.42816648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42816648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.532132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37168 KachelY 28159 0.42184472 0.42816648 24.169922 24.532132
    Oben rechts KachelX + 1 37169 KachelY 28159 0.42194059 0.42816648 24.175415 24.532132
    Unten links KachelX 37168 KachelY + 1 28160 0.42184472 0.42807926 24.169922 24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 37169 KachelY + 1 28160 0.42194059 0.42807926 24.175415 24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42816648-0.42807926) × R
    8.7219999999999e-05 × 6371000     		dl = 555.678619999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42816648-0.42807926) × R
    8.7219999999999e-05 × 6371000     		dr = 555.678619999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42184472-0.42194059) × cos(0.42816648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909728562322199 × 6371000     		do = 555.65107988607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42184472-0.42194059) × cos(0.42807926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 555.673196870702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42816648)-sin(0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909728562322199-0.909764772910752)×R²
    abs(0.42194059-0.42184472)×3.62105885527431e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62105885527431e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62105885527431e-05×40589641000000     		ar = 308769.570436054m²