Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37167 / 28417
↖ ↑ ↗
← N 23.236299°
E 24.164429°		 ← 561.30 m → N 23.236299°
E 24.169922°		 →
↑
561.29 m
↓
↑
561.29 m
↓
N 23.231251°
E 24.164429°		 ← 561.32 m →
315 057 m²		 N 23.231251°
E 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567131042480469 y=0.433616638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567131042480469 × 216)
    floor (0.567131042480469 × 65536)
    floor (37167.5)     		tx = 37167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433616638183594 × 216)
    floor (0.433616638183594 × 65536)
    floor (28417.5)     		ty = 28417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37167 / 28417 ti = "16/37167/28417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37167/28417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37167 ÷ 216
    37167 ÷ 65536     		x = 0.567123413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28417 ÷ 216
    28417 ÷ 65536     		y = 0.433609008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567123413085938 × 2 - 1) × π
    0.134246826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42174884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433609008789062 × 2 - 1) × π
    0.132781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.417146900493729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42174884} λ = 0.42174884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417146900493729))-π/2
    2×atan(1.51762543648681)-π/2
    2×0.988173121740323-π/2
    1.97634624348065-1.57079632675     		φ = 0.40554992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42174884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.164429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40554992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.236299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37167 KachelY 28417 0.42174884 0.40554992 24.164429 23.236299
    Oben rechts KachelX + 1 37168 KachelY 28417 0.42184472 0.40554992 24.169922 23.236299
    Unten links KachelX 37167 KachelY + 1 28418 0.42174884 0.40546182 24.164429 23.231251
    Unten rechts KachelX + 1 37168 KachelY + 1 28418 0.42184472 0.40546182 24.169922 23.231251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40554992-0.40546182) × R
    8.81000000000354e-05 × 6371000     		dl = 561.285100000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40554992-0.40546182) × R
    8.81000000000354e-05 × 6371000     		dr = 561.285100000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42174884-0.42184472) × cos(0.40554992) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.918885579406196 × 6371000     		do = 561.302616130889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42174884-0.42184472) × cos(0.40546182) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.918920333416302 × 6371000     		du = 561.323845669398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40554992)-sin(0.40546182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918885579406196-0.918920333416302)×R²
    abs(0.42184472-0.42174884)×3.47540101056643e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.47540101056643e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.47540101056643e-05×40589641000000     		ar = 315056.75314101m²