Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37167 / 102716
↖ ↑ ↗
← S 70.898674°
W 77.917786°		 ← 99.95 m → S 70.898674°
W 77.915039°		 →
↑
99.90 m
↓
↑
99.90 m
↓
S 70.899572°
W 77.917786°		 ← 99.94 m →
9 984 m²		 S 70.899572°
W 77.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283565521240234 y=0.783664703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283565521240234 × 217)
    floor (0.283565521240234 × 131072)
    floor (37167.5)     		tx = 37167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783664703369141 × 217)
    floor (0.783664703369141 × 131072)
    floor (102716.5)     		ty = 102716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37167 / 102716 ti = "17/37167/102716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37167/102716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37167 ÷ 217
    37167 ÷ 131072     		x = 0.283561706542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102716 ÷ 217
    102716 ÷ 131072     		y = 0.783660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283561706542969 × 2 - 1) × π
    -0.432876586914062 × 3.1415926535     		Λ = -1.35992191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.56732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78229392787369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35992191} λ = -1.35992191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78229392787369))-π/2
    2×atan(0.168251746878761)-π/2
    2×0.166690520083585-π/2
    0.333381040167169-1.57079632675     		φ = -1.23741529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35992191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.917786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23741529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.898674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37167 KachelY 102716 -1.35992191 -1.23741529 -77.917786 -70.898674
    Oben rechts KachelX + 1 37168 KachelY 102716 -1.35987397 -1.23741529 -77.915039 -70.898674
    Unten links KachelX 37167 KachelY + 1 102717 -1.35992191 -1.23743097 -77.917786 -70.899572
    Unten rechts KachelX + 1 37168 KachelY + 1 102717 -1.35987397 -1.23743097 -77.915039 -70.899572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23741529--1.23743097) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dl = 99.8972799997604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23741529--1.23743097) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dr = 99.8972799997604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35992191--1.35987397) × cos(-1.23741529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327239774141217 × 6371000     		do = 99.9474501744486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35992191--1.35987397) × cos(-1.23743097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327224957420827 × 6371000     		du = 99.942924766659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23741529)-sin(-1.23743097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327239774141217-0.327224957420827)×R²
    abs(-1.35987397--1.35992191)×1.48167203902205e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48167203902205e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48167203902205e-05×40589641000000     		ar = 9984.2523775586m²