Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37166 / 30620
↖ ↑ ↗
← N 11.716789°
E 24.158936°		 ← 598.06 m → N 11.716789°
E 24.164429°		 →
↑
598.11 m
↓
↑
598.11 m
↓
N 11.711410°
E 24.158936°		 ← 598.07 m →
357 709 m²		 N 11.711410°
E 24.164429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567115783691406 y=0.467231750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567115783691406 × 216)
    floor (0.567115783691406 × 65536)
    floor (37166.5)     		tx = 37166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467231750488281 × 216)
    floor (0.467231750488281 × 65536)
    floor (30620.5)     		ty = 30620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37166 / 30620 ti = "16/37166/30620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37166/30620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37166 ÷ 216
    37166 ÷ 65536     		x = 0.567108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30620 ÷ 216
    30620 ÷ 65536     		y = 0.46722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567108154296875 × 2 - 1) × π
    0.13421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42165297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46722412109375 × 2 - 1) × π
    0.0655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.205936920767761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42165297} λ = 0.42165297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205936920767761))-π/2
    2×atan(1.22867569763114)-π/2
    2×0.887646430977026-π/2
    1.77529286195405-1.57079632675     		φ = 0.20449654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42165297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.158936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20449654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.716789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37166 KachelY 30620 0.42165297 0.20449654 24.158936 11.716789
    Oben rechts KachelX + 1 37167 KachelY 30620 0.42174884 0.20449654 24.164429 11.716789
    Unten links KachelX 37166 KachelY + 1 30621 0.42165297 0.20440266 24.158936 11.711410
    Unten rechts KachelX + 1 37167 KachelY + 1 30621 0.42174884 0.20440266 24.164429 11.711410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20449654-0.20440266) × R
    9.38799999999906e-05 × 6371000     		dl = 598.10947999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20449654-0.20440266) × R
    9.38799999999906e-05 × 6371000     		dr = 598.10947999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42165297-0.42174884) × cos(0.20449654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979163348355245 × 6371000     		do = 598.06099800762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42165297-0.42174884) × cos(0.20440266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979182408647717 × 6371000     		du = 598.072639801155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20449654)-sin(0.20440266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979163348355245-0.979182408647717)×R²
    abs(0.42174884-0.42165297)×1.90602924721173e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90602924721173e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90602924721173e-05×40589641000000     		ar = 357709.434322817m²