Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37165 / 26613
↖ ↑ ↗
← N 32.003418°
E 24.153443°		 ← 517.96 m → N 32.003418°
E 24.158936°		 →
↑
517.96 m
↓
↑
517.96 m
↓
N 31.998760°
E 24.153443°		 ← 517.98 m →
268 290 m²		 N 31.998760°
E 24.158936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567100524902344 y=0.406089782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567100524902344 × 216)
    floor (0.567100524902344 × 65536)
    floor (37165.5)     		tx = 37165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406089782714844 × 216)
    floor (0.406089782714844 × 65536)
    floor (26613.5)     		ty = 26613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37165 / 26613 ti = "16/37165/26613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37165/26613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37165 ÷ 216
    37165 ÷ 65536     		x = 0.567092895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26613 ÷ 216
    26613 ÷ 65536     		y = 0.406082153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567092895507812 × 2 - 1) × π
    0.134185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42155710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406082153320312 × 2 - 1) × π
    0.187835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.590103234322891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42155710} λ = 0.42155710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590103234322891))-π/2
    2×atan(1.8041746585336)-π/2
    2×1.06468066950103-π/2
    2.12936133900207-1.57079632675     		φ = 0.55856501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42155710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.153443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55856501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.003418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37165 KachelY 26613 0.42155710 0.55856501 24.153443 32.003418
    Oben rechts KachelX + 1 37166 KachelY 26613 0.42165297 0.55856501 24.158936 32.003418
    Unten links KachelX 37165 KachelY + 1 26614 0.42155710 0.55848371 24.153443 31.998760
    Unten rechts KachelX + 1 37166 KachelY + 1 26614 0.42165297 0.55848371 24.158936 31.998760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55856501-0.55848371) × R
    8.13000000000619e-05 × 6371000     		dl = 517.962300000394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55856501-0.55848371) × R
    8.13000000000619e-05 × 6371000     		dr = 517.962300000394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42155710-0.42165297) × cos(0.55856501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848016485301823 × 6371000     		do = 517.958097980727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42155710-0.42165297) × cos(0.55848371) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848059569047921 × 6371000     		du = 517.984413005929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55856501)-sin(0.55848371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848016485301823-0.848059569047921)×R²
    abs(0.42165297-0.42155710)×4.30837460985156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30837460985156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30837460985156e-05×40589641000000     		ar = 268289.582977313m²