Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37165 / 26530
↖ ↑ ↗
← N 32.389239°
E 24.153443°		 ← 515.77 m → N 32.389239°
E 24.158936°		 →
↑
515.80 m
↓
↑
515.80 m
↓
N 32.384600°
E 24.153443°		 ← 515.79 m →
266 037 m²		 N 32.384600°
E 24.158936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567100524902344 y=0.404823303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567100524902344 × 216)
    floor (0.567100524902344 × 65536)
    floor (37165.5)     		tx = 37165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404823303222656 × 216)
    floor (0.404823303222656 × 65536)
    floor (26530.5)     		ty = 26530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37165 / 26530 ti = "16/37165/26530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37165/26530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37165 ÷ 216
    37165 ÷ 65536     		x = 0.567092895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26530 ÷ 216
    26530 ÷ 65536     		y = 0.404815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567092895507812 × 2 - 1) × π
    0.134185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42155710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404815673828125 × 2 - 1) × π
    0.19036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.598060759659821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42155710} λ = 0.42155710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598060759659821))-π/2
    2×atan(1.81858869807289)-π/2
    2×1.06804759573161-π/2
    2.13609519146322-1.57079632675     		φ = 0.56529886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42155710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.153443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56529886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.389239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37165 KachelY 26530 0.42155710 0.56529886 24.153443 32.389239
    Oben rechts KachelX + 1 37166 KachelY 26530 0.42165297 0.56529886 24.158936 32.389239
    Unten links KachelX 37165 KachelY + 1 26531 0.42155710 0.56521790 24.153443 32.384600
    Unten rechts KachelX + 1 37166 KachelY + 1 26531 0.42165297 0.56521790 24.158936 32.384600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56529886-0.56521790) × R
    8.09599999999078e-05 × 6371000     		dl = 515.796159999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56529886-0.56521790) × R
    8.09599999999078e-05 × 6371000     		dr = 515.796159999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42155710-0.42165297) × cos(0.56529886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844428548336776 × 6371000     		do = 515.766629962945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42155710-0.42165297) × cos(0.56521790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844471913267261 × 6371000     		du = 515.793116732133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56529886)-sin(0.56521790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844428548336776-0.844471913267261)×R²
    abs(0.42165297-0.42155710)×4.33649304852901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33649304852901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33649304852901e-05×40589641000000     		ar = 266037.278223268m²