Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37165 / 102717
↖ ↑ ↗
← S 70.899572°
W 77.923279°		 ← 99.94 m → S 70.899572°
W 77.920532°		 →
↑
99.96 m
↓
↑
99.96 m
↓
S 70.900471°
W 77.923279°		 ← 99.94 m →
9 990 m²		 S 70.900471°
W 77.920532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283550262451172 y=0.783672332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283550262451172 × 217)
    floor (0.283550262451172 × 131072)
    floor (37165.5)     		tx = 37165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783672332763672 × 217)
    floor (0.783672332763672 × 131072)
    floor (102717.5)     		ty = 102717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37165 / 102717 ti = "17/37165/102717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37165/102717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37165 ÷ 217
    37165 ÷ 131072     		x = 0.283546447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102717 ÷ 217
    102717 ÷ 131072     		y = 0.783668518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283546447753906 × 2 - 1) × π
    -0.432907104492188 × 3.1415926535     		Λ = -1.36001778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783668518066406 × 2 - 1) × π
    -0.567337036132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.78234186477331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36001778} λ = -1.36001778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78234186477331))-π/2
    2×atan(0.168243681604974)-π/2
    2×0.166682676831048-π/2
    0.333365353662095-1.57079632675     		φ = -1.23743097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36001778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.923279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23743097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.899572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37165 KachelY 102717 -1.36001778 -1.23743097 -77.923279 -70.899572
    Oben rechts KachelX + 1 37166 KachelY 102717 -1.35996984 -1.23743097 -77.920532 -70.899572
    Unten links KachelX 37165 KachelY + 1 102718 -1.36001778 -1.23744666 -77.923279 -70.900471
    Unten rechts KachelX + 1 37166 KachelY + 1 102718 -1.35996984 -1.23744666 -77.920532 -70.900471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23743097--1.23744666) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dl = 99.9609900007878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23743097--1.23744666) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dr = 99.9609900007878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36001778--1.35996984) × cos(-1.23743097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327224957420827 × 6371000     		do = 99.942924766659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36001778--1.35996984) × cos(-1.23744666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327210131170468 × 6371000     		du = 99.9383964481718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23743097)-sin(-1.23744666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327224957420827-0.327210131170468)×R²
    abs(-1.35996984--1.36001778)×1.48262503587016e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48262503587016e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48262503587016e-05×40589641000000     		ar = 9990.16737592978m²