Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37164 / 27059
↖ ↑ ↗
← N 29.902568°
E 24.147949°		 ← 529.53 m → N 29.902568°
E 24.153443°		 →
↑
529.49 m
↓
↑
529.49 m
↓
N 29.897806°
E 24.147949°		 ← 529.56 m →
280 390 m²		 N 29.897806°
E 24.153443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567085266113281 y=0.412895202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567085266113281 × 216)
    floor (0.567085266113281 × 65536)
    floor (37164.5)     		tx = 37164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412895202636719 × 216)
    floor (0.412895202636719 × 65536)
    floor (27059.5)     		ty = 27059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37164 / 27059 ti = "16/37164/27059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37164/27059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37164 ÷ 216
    37164 ÷ 65536     		x = 0.56707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27059 ÷ 216
    27059 ÷ 65536     		y = 0.412887573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56707763671875 × 2 - 1) × π
    0.1341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42146122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412887573242188 × 2 - 1) × π
    0.174224853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.547343519861801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42146122} λ = 0.42146122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547343519861801))-π/2
    2×atan(1.72865477592426)-π/2
    2×1.04634729316448-π/2
    2.09269458632896-1.57079632675     		φ = 0.52189826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42146122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.147949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52189826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.902568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37164 KachelY 27059 0.42146122 0.52189826 24.147949 29.902568
    Oben rechts KachelX + 1 37165 KachelY 27059 0.42155710 0.52189826 24.153443 29.902568
    Unten links KachelX 37164 KachelY + 1 27060 0.42146122 0.52181515 24.147949 29.897806
    Unten rechts KachelX + 1 37165 KachelY + 1 27060 0.42155710 0.52181515 24.153443 29.897806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52189826-0.52181515) × R
    8.31099999999418e-05 × 6371000     		dl = 529.493809999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52189826-0.52181515) × R
    8.31099999999418e-05 × 6371000     		dr = 529.493809999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42146122-0.42155710) × cos(0.52189826) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.866874409008191 × 6371000     		do = 529.531515716738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42146122-0.42155710) × cos(0.52181515) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.866915838559009 × 6371000     		du = 529.556823019171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52189826)-sin(0.52181515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866874409008191-0.866915838559009)×R²
    abs(0.42155710-0.42146122)×4.1429550817651e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.1429550817651e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.1429550817651e-05×40589641000000     		ar = 280390.35996324m²