Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37164 / 26612
↖ ↑ ↗
← N 32.008076°
E 24.147949°		 ← 517.99 m → N 32.008076°
E 24.153443°		 →
↑
517.96 m
↓
↑
517.96 m
↓
N 32.003418°
E 24.147949°		 ← 518.01 m →
268 304 m²		 N 32.003418°
E 24.153443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567085266113281 y=0.406074523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567085266113281 × 216)
    floor (0.567085266113281 × 65536)
    floor (37164.5)     		tx = 37164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406074523925781 × 216)
    floor (0.406074523925781 × 65536)
    floor (26612.5)     		ty = 26612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37164 / 26612 ti = "16/37164/26612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37164/26612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37164 ÷ 216
    37164 ÷ 65536     		x = 0.56707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26612 ÷ 216
    26612 ÷ 65536     		y = 0.40606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56707763671875 × 2 - 1) × π
    0.1341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42146122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40606689453125 × 2 - 1) × π
    0.1878662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.590199108122131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42146122} λ = 0.42146122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590199108122131))-π/2
    2×atan(1.80434763990467)-π/2
    2×1.06472131974933-π/2
    2.12944263949866-1.57079632675     		φ = 0.55864631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42146122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.147949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55864631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.008076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37164 KachelY 26612 0.42146122 0.55864631 24.147949 32.008076
    Oben rechts KachelX + 1 37165 KachelY 26612 0.42155710 0.55864631 24.153443 32.008076
    Unten links KachelX 37164 KachelY + 1 26613 0.42146122 0.55856501 24.147949 32.003418
    Unten rechts KachelX + 1 37165 KachelY + 1 26613 0.42155710 0.55856501 24.153443 32.003418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55864631-0.55856501) × R
    8.12999999999509e-05 × 6371000     		dl = 517.962299999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55864631-0.55856501) × R
    8.12999999999509e-05 × 6371000     		dr = 517.962299999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42146122-0.42155710) × cos(0.55864631) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.847973395950598 × 6371000     		do = 517.985803917009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42146122-0.42155710) × cos(0.55856501) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.848016485301823 × 6371000     		du = 518.012125110977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55864631)-sin(0.55856501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847973395950598-0.848016485301823)×R²
    abs(0.42155710-0.42146122)×4.30893512244346e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30893512244346e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30893512244346e-05×40589641000000     		ar = 268303.93520462m²