Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37163 / 26519
↖ ↑ ↗
← N 32.440249°
E 24.142456°		 ← 515.48 m → N 32.440249°
E 24.147949°		 →
↑
515.54 m
↓
↑
515.54 m
↓
N 32.435613°
E 24.142456°		 ← 515.50 m →
265 756 m²		 N 32.435613°
E 24.147949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567070007324219 y=0.404655456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567070007324219 × 216)
    floor (0.567070007324219 × 65536)
    floor (37163.5)     		tx = 37163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404655456542969 × 216)
    floor (0.404655456542969 × 65536)
    floor (26519.5)     		ty = 26519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37163 / 26519 ti = "16/37163/26519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37163/26519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37163 ÷ 216
    37163 ÷ 65536     		x = 0.567062377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26519 ÷ 216
    26519 ÷ 65536     		y = 0.404647827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567062377929688 × 2 - 1) × π
    0.134124755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42136535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404647827148438 × 2 - 1) × π
    0.190704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.599115371451462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42136535} λ = 0.42136535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.599115371451462))-π/2
    2×atan(1.8205076148363)-π/2
    2×1.06849274207528-π/2
    2.13698548415055-1.57079632675     		φ = 0.56618916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42136535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.142456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56618916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.440249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37163 KachelY 26519 0.42136535 0.56618916 24.142456 32.440249
    Oben rechts KachelX + 1 37164 KachelY 26519 0.42146122 0.56618916 24.147949 32.440249
    Unten links KachelX 37163 KachelY + 1 26520 0.42136535 0.56610824 24.142456 32.435613
    Unten rechts KachelX + 1 37164 KachelY + 1 26520 0.42146122 0.56610824 24.147949 32.435613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56618916-0.56610824) × R
    8.09199999999288e-05 × 6371000     		dl = 515.541319999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56618916-0.56610824) × R
    8.09199999999288e-05 × 6371000     		dr = 515.541319999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42136535-0.42146122) × cos(0.56618916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.843951308334709 × 6371000     		do = 515.475137606328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42136535-0.42146122) × cos(0.56610824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.843994712660805 × 6371000     		du = 515.501648437873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56618916)-sin(0.56610824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843951308334709-0.843994712660805)×R²
    abs(0.42146122-0.42136535)×4.34043260966188e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34043260966188e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34043260966188e-05×40589641000000     		ar = 265755.566728178m²