Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37161 / 27057
↖ ↑ ↗
← N 29.912091°
E 24.131470°		 ← 529.43 m → N 29.912091°
E 24.136963°		 →
↑
529.43 m
↓
↑
529.43 m
↓
N 29.907329°
E 24.131470°		 ← 529.45 m →
280 301 m²		 N 29.907329°
E 24.136963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567039489746094 y=0.412864685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567039489746094 × 216)
    floor (0.567039489746094 × 65536)
    floor (37161.5)     		tx = 37161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412864685058594 × 216)
    floor (0.412864685058594 × 65536)
    floor (27057.5)     		ty = 27057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37161 / 27057 ti = "16/37161/27057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37161/27057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37161 ÷ 216
    37161 ÷ 65536     		x = 0.567031860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27057 ÷ 216
    27057 ÷ 65536     		y = 0.412857055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567031860351562 × 2 - 1) × π
    0.134063720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42117360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412857055664062 × 2 - 1) × π
    0.174285888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.547535267460281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42117360} λ = 0.42117360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547535267460281))-π/2
    2×atan(1.72898627310702)-π/2
    2×1.04643039973498-π/2
    2.09286079946996-1.57079632675     		φ = 0.52206447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42117360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.131470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52206447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.912091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37161 KachelY 27057 0.42117360 0.52206447 24.131470 29.912091
    Oben rechts KachelX + 1 37162 KachelY 27057 0.42126947 0.52206447 24.136963 29.912091
    Unten links KachelX 37161 KachelY + 1 27058 0.42117360 0.52198137 24.131470 29.907329
    Unten rechts KachelX + 1 37162 KachelY + 1 27058 0.42126947 0.52198137 24.136963 29.907329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52206447-0.52198137) × R
    8.31000000000026e-05 × 6371000     		dl = 529.430100000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52206447-0.52198137) × R
    8.31000000000026e-05 × 6371000     		dr = 529.430100000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42117360-0.42126947) × cos(0.52206447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866791536930336 × 6371000     		do = 529.425669896541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42117360-0.42126947) × cos(0.52198137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866832973469636 × 6371000     		du = 529.450978827977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52206447)-sin(0.52198137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866791536930336-0.866832973469636)×R²
    abs(0.42126947-0.42117360)×4.14365392995553e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.14365392995553e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.14365392995553e-05×40589641000000     		ar = 280300.585172291m²