Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37161 / 26576
↖ ↑ ↗
← N 32.175613°
E 24.131470°		 ← 516.98 m → N 32.175613°
E 24.136963°		 →
↑
517.01 m
↓
↑
517.01 m
↓
N 32.170963°
E 24.131470°		 ← 517.01 m →
267 290 m²		 N 32.170963°
E 24.136963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567039489746094 y=0.405525207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567039489746094 × 216)
    floor (0.567039489746094 × 65536)
    floor (37161.5)     		tx = 37161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405525207519531 × 216)
    floor (0.405525207519531 × 65536)
    floor (26576.5)     		ty = 26576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37161 / 26576 ti = "16/37161/26576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37161/26576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37161 ÷ 216
    37161 ÷ 65536     		x = 0.567031860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26576 ÷ 216
    26576 ÷ 65536     		y = 0.405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567031860351562 × 2 - 1) × π
    0.134063720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42117360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405517578125 × 2 - 1) × π
    0.18896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.593650564894775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42117360} λ = 0.42117360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593650564894775))-π/2
    2×atan(1.810586027356)-π/2
    2×1.06618335168806-π/2
    2.13236670337612-1.57079632675     		φ = 0.56157038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42117360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.131470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56157038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.175613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37161 KachelY 26576 0.42117360 0.56157038 24.131470 32.175613
    Oben rechts KachelX + 1 37162 KachelY 26576 0.42126947 0.56157038 24.136963 32.175613
    Unten links KachelX 37161 KachelY + 1 26577 0.42117360 0.56148923 24.131470 32.170963
    Unten rechts KachelX + 1 37162 KachelY + 1 26577 0.42126947 0.56148923 24.136963 32.170963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56157038-0.56148923) × R
    8.11500000000853e-05 × 6371000     		dl = 517.006650000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56157038-0.56148923) × R
    8.11500000000853e-05 × 6371000     		dr = 517.006650000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42117360-0.42126947) × cos(0.56157038) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846419902469899 × 6371000     		do = 516.982924713196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42117360-0.42126947) × cos(0.56148923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846463113360731 × 6371000     		du = 517.009317396847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56157038)-sin(0.56148923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846419902469899-0.846463113360731)×R²
    abs(0.42126947-0.42117360)×4.3210890831924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3210890831924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3210890831924e-05×40589641000000     		ar = 267290.432756409m²