Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3716 / 3985
↖ ↑ ↗
← N 79.398064°
W139.174805°		 ← 224.76 m → N 79.398064°
W139.163818°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
N 79.396042°
W139.174805°		 ← 224.81 m →
50 539 m²		 N 79.396042°
W139.163818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113418579101562 y=0.121627807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113418579101562 × 215)
    floor (0.113418579101562 × 32768)
    floor (3716.5)     		tx = 3716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121627807617188 × 215)
    floor (0.121627807617188 × 32768)
    floor (3985.5)     		ty = 3985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3716 / 3985 ti = "15/3716/3985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3716/3985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3716 ÷ 215
    3716 ÷ 32768     		x = 0.1134033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3985 ÷ 215
    3985 ÷ 32768     		y = 0.121612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.773193359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42905858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121612548828125 × 2 - 1) × π
    0.75677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3774784735563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42905858} λ = -2.42905858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3774784735563))-π/2
    2×atan(10.7776923360883)-π/2
    2×1.47827697639904-π/2
    2.95655395279808-1.57079632675     		φ = 1.38575763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42905858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.174805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38575763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.398064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3716 KachelY 3985 -2.42905858 1.38575763 -139.174805 79.398064
    Oben rechts KachelX + 1 3717 KachelY 3985 -2.42886683 1.38575763 -139.163818 79.398064
    Unten links KachelX 3716 KachelY + 1 3986 -2.42905858 1.38572234 -139.174805 79.396042
    Unten rechts KachelX + 1 3717 KachelY + 1 3986 -2.42886683 1.38572234 -139.163818 79.396042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38575763-1.38572234) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38575763-1.38572234) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42905858--2.42886683) × cos(1.38575763) × R
    0.000191749999999935 × 0.183984569872794 × 6371000     		do = 224.762771950897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42905858--2.42886683) × cos(1.38572234) × R
    0.000191749999999935 × 0.184019257327281 × 6371000     		du = 224.80514750678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38575763)-sin(1.38572234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183984569872794-0.184019257327281)×R²
    abs(-2.42886683--2.42905858)×3.46874544866482e-05×R²
    0.000191749999999935×3.46874544866482e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.46874544866482e-05×40589641000000     		ar = 50538.7598619543m²