Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3716 / 3700
↖ ↑ ↗
← S 80.928426°
E146.601562°		 ← 1 540.89 m → S 80.928426°
E146.689453°		 →
↑
1 539.68 m
↓
↑
1 539.68 m
↓
S 80.942273°
E146.601562°		 ← 1 538.56 m →
2 370 680 m²		 S 80.942273°
E146.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9073486328125 y=0.9034423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9073486328125 × 212)
    floor (0.9073486328125 × 4096)
    floor (3716.5)     		tx = 3716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9034423828125 × 212)
    floor (0.9034423828125 × 4096)
    floor (3700.5)     		ty = 3700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3716 / 3700 ti = "12/3716/3700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3716/3700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3716 ÷ 212
    3716 ÷ 4096     		x = 0.9072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3700 ÷ 212
    3700 ÷ 4096     		y = 0.9033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9072265625 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55867995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9033203125 × 2 - 1) × π
    -0.806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53413626151465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55867995} λ = 2.55867995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53413626151465))-π/2
    2×atan(0.0793302102369619)-π/2
    2×0.0791644200054952-π/2
    0.15832884001099-1.57079632675     		φ = -1.41246749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55867995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41246749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.928426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3716 KachelY 3700 2.55867995 -1.41246749 146.601562 -80.928426
    Oben rechts KachelX + 1 3717 KachelY 3700 2.56021393 -1.41246749 146.689453 -80.928426
    Unten links KachelX 3716 KachelY + 1 3701 2.55867995 -1.41270916 146.601562 -80.942273
    Unten rechts KachelX + 1 3717 KachelY + 1 3701 2.56021393 -1.41270916 146.689453 -80.942273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41246749--1.41270916) × R
    0.000241669999999861 × 6371000     		dl = 1539.67956999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41246749--1.41270916) × R
    0.000241669999999861 × 6371000     		dr = 1539.67956999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55867995-2.56021393) × cos(-1.41246749) × R
    0.00153398000000005 × 0.157668167000313 × 6371000     		do = 1540.8888801873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55867995-2.56021393) × cos(-1.41270916) × R
    0.00153398000000005 × 0.157429515170146 × 6371000     		du = 1538.55653905379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41246749)-sin(-1.41270916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157668167000313-0.157429515170146)×R²
    abs(2.56021393-2.55867995)×0.000238651830166803×R²
    0.00153398000000005×0.000238651830166803×6371000²
    0.00153398000000005×0.000238651830166803×40589641000000     		ar = 2370679.61100048m²