Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3716 / 2178
↖ ↑ ↗
← N 78.621339°
W 98.349609°		 ← 482.03 m → N 78.621339°
W 98.327637°		 →
↑
482.09 m
↓
↑
482.09 m
↓
N 78.617003°
W 98.349609°		 ← 482.21 m →
232 426 m²		 N 78.617003°
W 98.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226837158203125 y=0.132965087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226837158203125 × 214)
    floor (0.226837158203125 × 16384)
    floor (3716.5)     		tx = 3716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132965087890625 × 214)
    floor (0.132965087890625 × 16384)
    floor (2178.5)     		ty = 2178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3716 / 2178 ti = "14/3716/2178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3716/2178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3716 ÷ 214
    3716 ÷ 16384     		x = 0.226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2178 ÷ 214
    2178 ÷ 16384     		y = 0.1329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.54638671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71652450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1329345703125 × 2 - 1) × π
    0.734130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30634011452014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71652450} λ = -1.71652450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30634011452014))-π/2
    2×atan(10.0376208045213)-π/2
    2×1.47149877521113-π/2
    2.94299755042227-1.57079632675     		φ = 1.37220122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71652450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37220122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.621339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3716 KachelY 2178 -1.71652450 1.37220122 -98.349609 78.621339
    Oben rechts KachelX + 1 3717 KachelY 2178 -1.71614101 1.37220122 -98.327637 78.621339
    Unten links KachelX 3716 KachelY + 1 2179 -1.71652450 1.37212555 -98.349609 78.617003
    Unten rechts KachelX + 1 3717 KachelY + 1 2179 -1.71614101 1.37212555 -98.327637 78.617003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37220122-1.37212555) × R
    7.56699999999721e-05 × 6371000     		dl = 482.093569999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37220122-1.37212555) × R
    7.56699999999721e-05 × 6371000     		dr = 482.093569999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71652450--1.71614101) × cos(1.37220122) × R
    0.000383489999999931 × 0.197292246312964 × 6371000     		do = 482.027334144071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71652450--1.71614101) × cos(1.37212555) × R
    0.000383489999999931 × 0.197366428432994 × 6371000     		du = 482.208576996882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37220122)-sin(1.37212555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197292246312964-0.197366428432994)×R²
    abs(-1.71614101--1.71652450)×7.41821200301307e-05×R²
    0.000383489999999931×7.41821200301307e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.41821200301307e-05×40589641000000     		ar = 232425.966472874m²