Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37159 / 30310
↖ ↑ ↗
← N 13.378932°
E 24.120483°		 ← 594.27 m → N 13.378932°
E 24.125977°		 →
↑
594.29 m
↓
↑
594.29 m
↓
N 13.373587°
E 24.120483°		 ← 594.29 m →
353 173 m²		 N 13.373587°
E 24.125977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567008972167969 y=0.462501525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567008972167969 × 216)
    floor (0.567008972167969 × 65536)
    floor (37159.5)     		tx = 37159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462501525878906 × 216)
    floor (0.462501525878906 × 65536)
    floor (30310.5)     		ty = 30310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37159 / 30310 ti = "16/37159/30310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37159/30310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37159 ÷ 216
    37159 ÷ 65536     		x = 0.567001342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30310 ÷ 216
    30310 ÷ 65536     		y = 0.462493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567001342773438 × 2 - 1) × π
    0.134002685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42098185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462493896484375 × 2 - 1) × π
    0.07501220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.235657798532196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42098185} λ = 0.42098185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.235657798532196))-π/2
    2×atan(1.26574109758666)-π/2
    2×0.90215136731364-π/2
    1.80430273462728-1.57079632675     		φ = 0.23350641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42098185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.120483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23350641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.378932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37159 KachelY 30310 0.42098185 0.23350641 24.120483 13.378932
    Oben rechts KachelX + 1 37160 KachelY 30310 0.42107773 0.23350641 24.125977 13.378932
    Unten links KachelX 37159 KachelY + 1 30311 0.42098185 0.23341313 24.120483 13.373587
    Unten rechts KachelX + 1 37160 KachelY + 1 30311 0.42107773 0.23341313 24.125977 13.373587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23350641-0.23341313) × R
    9.32800000000011e-05 × 6371000     		dl = 594.286880000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23350641-0.23341313) × R
    9.32800000000011e-05 × 6371000     		dr = 594.286880000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42098185-0.42107773) × cos(0.23350641) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.972861028410386 × 6371000     		do = 594.273599038761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42098185-0.42107773) × cos(0.23341313) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.972882608254642 × 6371000     		du = 594.286781118563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23350641)-sin(0.23341313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972861028410386-0.972882608254642)×R²
    abs(0.42107773-0.42098185)×2.15798442564363e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.15798442564363e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.15798442564363e-05×40589641000000     		ar = 353172.920263749m²