Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37158 / 28139
↖ ↑ ↗
← N 24.632038°
E 24.114990°		 ← 555.21 m → N 24.632038°
E 24.120483°		 →
↑
555.23 m
↓
↑
555.23 m
↓
N 24.627045°
E 24.114990°		 ← 555.23 m →
308 276 m²		 N 24.627045°
E 24.120483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566993713378906 y=0.429374694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566993713378906 × 216)
    floor (0.566993713378906 × 65536)
    floor (37158.5)     		tx = 37158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429374694824219 × 216)
    floor (0.429374694824219 × 65536)
    floor (28139.5)     		ty = 28139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37158 / 28139 ti = "16/37158/28139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37158/28139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37158 ÷ 216
    37158 ÷ 65536     		x = 0.566986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28139 ÷ 216
    28139 ÷ 65536     		y = 0.429367065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566986083984375 × 2 - 1) × π
    0.13397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42088598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429367065429688 × 2 - 1) × π
    0.141265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.44379981668248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42088598} λ = 0.42088598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44379981668248))-π/2
    2×atan(1.55861844497923)-π/2
    2×1.00035324698534-π/2
    2.00070649397068-1.57079632675     		φ = 0.42991017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42088598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.114990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42991017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.632038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37158 KachelY 28139 0.42088598 0.42991017 24.114990 24.632038
    Oben rechts KachelX + 1 37159 KachelY 28139 0.42098185 0.42991017 24.120483 24.632038
    Unten links KachelX 37158 KachelY + 1 28140 0.42088598 0.42982302 24.114990 24.627045
    Unten rechts KachelX + 1 37159 KachelY + 1 28140 0.42098185 0.42982302 24.120483 24.627045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42991017-0.42982302) × R
    8.71499999999803e-05 × 6371000     		dl = 555.232649999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42991017-0.42982302) × R
    8.71499999999803e-05 × 6371000     		dr = 555.232649999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42088598-0.42098185) × cos(0.42991017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9090031935116 × 6371000     		do = 555.208033487816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42088598-0.42098185) × cos(0.42982302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909039513233837 × 6371000     		du = 555.230217129969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42991017)-sin(0.42982302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9090031935116-0.909039513233837)×R²
    abs(0.42098185-0.42088598)×3.6319722237721e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6319722237721e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6319722237721e-05×40589641000000     		ar = 308275.786470831m²