Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37156 / 38502
↖ ↑ ↗
← S 30.021543°
E 24.104004°		 ← 528.84 m → S 30.021543°
E 24.109497°		 →
↑
528.86 m
↓
↑
528.86 m
↓
S 30.026300°
E 24.104004°		 ← 528.82 m →
279 675 m²		 S 30.026300°
E 24.109497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566963195800781 y=0.587501525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566963195800781 × 216)
    floor (0.566963195800781 × 65536)
    floor (37156.5)     		tx = 37156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587501525878906 × 216)
    floor (0.587501525878906 × 65536)
    floor (38502.5)     		ty = 38502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37156 / 38502 ti = "16/37156/38502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37156/38502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37156 ÷ 216
    37156 ÷ 65536     		x = 0.56695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38502 ÷ 216
    38502 ÷ 65536     		y = 0.587493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56695556640625 × 2 - 1) × π
    0.1339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42069423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.17498779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.549740364842804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42069423} λ = 0.42069423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549740364842804))-π/2
    2×atan(0.577099626283095)-π/2
    2×0.523410773016402-π/2
    1.0468215460328-1.57079632675     		φ = -0.52397478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42069423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.104004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52397478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.021543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37156 KachelY 38502 0.42069423 -0.52397478 24.104004 -30.021543
    Oben rechts KachelX + 1 37157 KachelY 38502 0.42079010 -0.52397478 24.109497 -30.021543
    Unten links KachelX 37156 KachelY + 1 38503 0.42069423 -0.52405779 24.104004 -30.026300
    Unten rechts KachelX + 1 37157 KachelY + 1 38503 0.42079010 -0.52405779 24.109497 -30.026300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52397478--0.52405779) × R
    8.30099999999945e-05 × 6371000     		dl = 528.856709999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52397478--0.52405779) × R
    8.30099999999945e-05 × 6371000     		dr = 528.856709999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42069423-0.42079010) × cos(-0.52397478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865837340368982 × 6371000     		do = 528.84285830669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42069423-0.42079010) × cos(-0.52405779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865795805358375 × 6371000     		du = 528.817489230184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52397478)-sin(-0.52405779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865837340368982-0.865795805358375)×R²
    abs(0.42079010-0.42069423)×4.15350106066636e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.15350106066636e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.15350106066636e-05×40589641000000     		ar = 279675.386008345m²