Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37156 / 30308
↖ ↑ ↗
← N 13.389620°
E 24.104004°		 ← 594.19 m → N 13.389620°
E 24.109497°		 →
↑
594.22 m
↓
↑
594.22 m
↓
N 13.384276°
E 24.104004°		 ← 594.20 m →
353 083 m²		 N 13.384276°
E 24.109497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566963195800781 y=0.462471008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566963195800781 × 216)
    floor (0.566963195800781 × 65536)
    floor (37156.5)     		tx = 37156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462471008300781 × 216)
    floor (0.462471008300781 × 65536)
    floor (30308.5)     		ty = 30308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37156 / 30308 ti = "16/37156/30308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37156/30308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37156 ÷ 216
    37156 ÷ 65536     		x = 0.56695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30308 ÷ 216
    30308 ÷ 65536     		y = 0.46246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56695556640625 × 2 - 1) × π
    0.1339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42069423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46246337890625 × 2 - 1) × π
    0.0750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.235849546130676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42069423} λ = 0.42069423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.235849546130676))-π/2
    2×atan(1.26598382367275)-π/2
    2×0.902244637126937-π/2
    1.80448927425387-1.57079632675     		φ = 0.23369295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42069423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.104004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23369295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.389620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37156 KachelY 30308 0.42069423 0.23369295 24.104004 13.389620
    Oben rechts KachelX + 1 37157 KachelY 30308 0.42079010 0.23369295 24.109497 13.389620
    Unten links KachelX 37156 KachelY + 1 30309 0.42069423 0.23359968 24.104004 13.384276
    Unten rechts KachelX + 1 37157 KachelY + 1 30309 0.42079010 0.23359968 24.109497 13.384276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23369295-0.23359968) × R
    9.32700000000064e-05 × 6371000     		dl = 594.223170000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23369295-0.23359968) × R
    9.32700000000064e-05 × 6371000     		dr = 594.223170000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42069423-0.42079010) × cos(0.23369295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972817847958441 × 6371000     		do = 594.185243970722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42069423-0.42079010) × cos(0.23359968) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972839442415921 × 6371000     		du = 594.198433601251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23369295)-sin(0.23359968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972817847958441-0.972839442415921)×R²
    abs(0.42079010-0.42069423)×2.15944574801785e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15944574801785e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15944574801785e-05×40589641000000     		ar = 353082.558287594m²