Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37156 / 102692
↖ ↑ ↗
← S 70.877091°
W 77.947998°		 ← 100.06 m → S 70.877091°
W 77.945251°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
S 70.877990°
W 77.947998°		 ← 100.05 m →
10 008 m²		 S 70.877990°
W 77.945251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283481597900391 y=0.783481597900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283481597900391 × 217)
    floor (0.283481597900391 × 131072)
    floor (37156.5)     		tx = 37156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783481597900391 × 217)
    floor (0.783481597900391 × 131072)
    floor (102692.5)     		ty = 102692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37156 / 102692 ti = "17/37156/102692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37156/102692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37156 ÷ 217
    37156 ÷ 131072     		x = 0.283477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102692 ÷ 217
    102692 ÷ 131072     		y = 0.783477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.43304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36044921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.56695556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78114344228281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36044921} λ = -1.36044921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78114344228281))-π/2
    2×atan(0.168445429482345)-π/2
    2×0.166878864763522-π/2
    0.333757729527044-1.57079632675     		φ = -1.23703860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36044921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.947998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23703860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.877091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37156 KachelY 102692 -1.36044921 -1.23703860 -77.947998 -70.877091
    Oben rechts KachelX + 1 37157 KachelY 102692 -1.36040127 -1.23703860 -77.945251 -70.877091
    Unten links KachelX 37156 KachelY + 1 102693 -1.36044921 -1.23705430 -77.947998 -70.877990
    Unten rechts KachelX + 1 37157 KachelY + 1 102693 -1.36040127 -1.23705430 -77.945251 -70.877990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23703860--1.23705430) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dl = 100.024700000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23703860--1.23705430) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dr = 100.024700000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36044921--1.36040127) × cos(-1.23703860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327595700868102 × 6371000     		do = 100.056159358393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36044921--1.36040127) × cos(-1.23705430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327580867185097 × 6371000     		du = 100.051628769785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23703860)-sin(-1.23705430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327595700868102-0.327580867185097)×R²
    abs(-1.36040127--1.36044921)×1.48336830042561e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48336830042561e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48336830042561e-05×40589641000000     		ar = 10007.8607376751m²