Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37152 / 36576
↖ ↑ ↗
← S 20.468189°
E 24.082031°		 ← 572.23 m → S 20.468189°
E 24.087524°		 →
↑
572.24 m
↓
↑
572.24 m
↓
S 20.473335°
E 24.082031°		 ← 572.21 m →
327 447 m²		 S 20.473335°
E 24.087524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566902160644531 y=0.558113098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566902160644531 × 216)
    floor (0.566902160644531 × 65536)
    floor (37152.5)     		tx = 37152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558113098144531 × 216)
    floor (0.558113098144531 × 65536)
    floor (36576.5)     		ty = 36576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37152 / 36576 ti = "16/37152/36576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37152/36576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37152 ÷ 216
    37152 ÷ 65536     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36576 ÷ 216
    36576 ÷ 65536     		y = 0.55810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55810546875 × 2 - 1) × π
    -0.1162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.365087427506348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.365087427506348))-π/2
    2×atan(0.69413596164887)-π/2
    2×0.606779516474185-π/2
    1.21355903294837-1.57079632675     		φ = -0.35723729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35723729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.468189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37152 KachelY 36576 0.42031074 -0.35723729 24.082031 -20.468189
    Oben rechts KachelX + 1 37153 KachelY 36576 0.42040661 -0.35723729 24.087524 -20.468189
    Unten links KachelX 37152 KachelY + 1 36577 0.42031074 -0.35732711 24.082031 -20.473335
    Unten rechts KachelX + 1 37153 KachelY + 1 36577 0.42040661 -0.35732711 24.087524 -20.473335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35723729--0.35732711) × R
    8.98200000000182e-05 × 6371000     		dl = 572.243220000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35723729--0.35732711) × R
    8.98200000000182e-05 × 6371000     		dr = 572.243220000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42040661) × cos(-0.35723729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936866482341783 × 6371000     		do = 572.22658953727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42040661) × cos(-0.35732711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936835069651129 × 6371000     		du = 572.207403049995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35723729)-sin(-0.35732711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936866482341783-0.936835069651129)×R²
    abs(0.42040661-0.42031074)×3.14126906549861e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14126906549861e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14126906549861e-05×40589641000000     		ar = 327447.296718022m²