Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37152 / 30459
↖ ↑ ↗
← N 12.581371°
E 24.082031°		 ← 596.12 m → N 12.581371°
E 24.087524°		 →
↑
596.13 m
↓
↑
596.13 m
↓
N 12.576010°
E 24.082031°		 ← 596.13 m →
355 372 m²		 N 12.576010°
E 24.087524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566902160644531 y=0.464775085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566902160644531 × 216)
    floor (0.566902160644531 × 65536)
    floor (37152.5)     		tx = 37152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464775085449219 × 216)
    floor (0.464775085449219 × 65536)
    floor (30459.5)     		ty = 30459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37152 / 30459 ti = "16/37152/30459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37152/30459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37152 ÷ 216
    37152 ÷ 65536     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30459 ÷ 216
    30459 ÷ 65536     		y = 0.464767456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464767456054688 × 2 - 1) × π
    0.070465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.221372602445419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.221372602445419))-π/2
    2×atan(1.24778827291984)-π/2
    2×0.895191339568645-π/2
    1.79038267913729-1.57079632675     		φ = 0.21958635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21958635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.581371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37152 KachelY 30459 0.42031074 0.21958635 24.082031 12.581371
    Oben rechts KachelX + 1 37153 KachelY 30459 0.42040661 0.21958635 24.087524 12.581371
    Unten links KachelX 37152 KachelY + 1 30460 0.42031074 0.21949278 24.082031 12.576010
    Unten rechts KachelX + 1 37153 KachelY + 1 30460 0.42040661 0.21949278 24.087524 12.576010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21958635-0.21949278) × R
    9.3570000000015e-05 × 6371000     		dl = 596.134470000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21958635-0.21949278) × R
    9.3570000000015e-05 × 6371000     		dr = 596.134470000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42040661) × cos(0.21958635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975987636520508 × 6371000     		do = 596.121312057919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42040661) × cos(0.21949278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976008014219674 × 6371000     		du = 596.13375850735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21958635)-sin(0.21949278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975987636520508-0.976008014219674)×R²
    abs(0.42040661-0.42031074)×2.03776991661853e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03776991661853e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03776991661853e-05×40589641000000     		ar = 355372.172557448m²