Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37151 / 30458
↖ ↑ ↗
← N 12.586732°
E 24.076538°		 ← 596.17 m → N 12.586732°
E 24.082031°		 →
↑
596.13 m
↓
↑
596.13 m
↓
N 12.581371°
E 24.076538°		 ← 596.18 m →
355 402 m²		 N 12.581371°
E 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566886901855469 y=0.464759826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566886901855469 × 216)
    floor (0.566886901855469 × 65536)
    floor (37151.5)     		tx = 37151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464759826660156 × 216)
    floor (0.464759826660156 × 65536)
    floor (30458.5)     		ty = 30458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37151 / 30458 ti = "16/37151/30458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37151/30458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37151 ÷ 216
    37151 ÷ 65536     		x = 0.566879272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30458 ÷ 216
    30458 ÷ 65536     		y = 0.464752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566879272460938 × 2 - 1) × π
    0.133758544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42021486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464752197265625 × 2 - 1) × π
    0.07049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.221468476244659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42021486} λ = 0.42021486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.221468476244659))-π/2
    2×atan(1.2479079088571)-π/2
    2×0.895238124901386-π/2
    1.79047624980277-1.57079632675     		φ = 0.21967992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42021486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.076538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21967992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.586732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37151 KachelY 30458 0.42021486 0.21967992 24.076538 12.586732
    Oben rechts KachelX + 1 37152 KachelY 30458 0.42031074 0.21967992 24.082031 12.586732
    Unten links KachelX 37151 KachelY + 1 30459 0.42021486 0.21958635 24.076538 12.581371
    Unten rechts KachelX + 1 37152 KachelY + 1 30459 0.42031074 0.21958635 24.082031 12.581371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21967992-0.21958635) × R
    9.35699999999873e-05 × 6371000     		dl = 596.134469999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21967992-0.21958635) × R
    9.35699999999873e-05 × 6371000     		dr = 596.134469999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42021486-0.42031074) × cos(0.21967992) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.975967250276233 × 6371000     		do = 596.171039262722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42021486-0.42031074) × cos(0.21958635) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.975987636520508 × 6371000     		du = 596.183492230208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21967992)-sin(0.21958635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975967250276233-0.975987636520508)×R²
    abs(0.42031074-0.42021486)×2.03862442744729e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.03862442744729e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.03862442744729e-05×40589641000000     		ar = 355401.818601104m²