Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37150 / 39010
↖ ↑ ↗
← S 32.407792°
E 24.071045°		 ← 515.66 m → S 32.407792°
E 24.076538°		 →
↑
515.67 m
↓
↑
515.67 m
↓
S 32.412429°
E 24.071045°		 ← 515.63 m →
265 903 m²		 S 32.412429°
E 24.076538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566871643066406 y=0.595252990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566871643066406 × 216)
    floor (0.566871643066406 × 65536)
    floor (37150.5)     		tx = 37150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595252990722656 × 216)
    floor (0.595252990722656 × 65536)
    floor (39010.5)     		ty = 39010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37150 / 39010 ti = "16/37150/39010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37150/39010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37150 ÷ 216
    37150 ÷ 65536     		x = 0.566864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39010 ÷ 216
    39010 ÷ 65536     		y = 0.595245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566864013671875 × 2 - 1) × π
    0.13372802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42011899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.19049072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.598444254856781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42011899} λ = 0.42011899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598444254856781))-π/2
    2×atan(0.549666111632162)-π/2
    2×0.502586830550236-π/2
    1.00517366110047-1.57079632675     		φ = -0.56562267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42011899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.071045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56562267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.407792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37150 KachelY 39010 0.42011899 -0.56562267 24.071045 -32.407792
    Oben rechts KachelX + 1 37151 KachelY 39010 0.42021486 -0.56562267 24.076538 -32.407792
    Unten links KachelX 37150 KachelY + 1 39011 0.42011899 -0.56570361 24.071045 -32.412429
    Unten rechts KachelX + 1 37151 KachelY + 1 39011 0.42021486 -0.56570361 24.076538 -32.412429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56562267--0.56570361) × R
    8.09400000000293e-05 × 6371000     		dl = 515.668740000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56562267--0.56570361) × R
    8.09400000000293e-05 × 6371000     		dr = 515.668740000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42011899-0.42021486) × cos(-0.56562267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844255049347675 × 6371000     		do = 515.660658902295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42011899-0.42021486) × cos(-0.56570361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844211667468156 × 6371000     		du = 515.634161780845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56562267)-sin(-0.56570361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844255049347675-0.844211667468156)×R²
    abs(0.42021486-0.42011899)×4.33818795185781e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33818795185781e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33818795185781e-05×40589641000000     		ar = 265903.250520079m²