Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3715 / 3677
↖ ↑ ↗
← S 80.604087°
E146.513672°		 ← 1 595.49 m → S 80.604087°
E146.601562°		 →
↑
1 594.28 m
↓
↑
1 594.28 m
↓
S 80.618424°
E146.513672°		 ← 1 593.08 m →
2 541 740 m²		 S 80.618424°
E146.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9071044921875 y=0.8978271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9071044921875 × 212)
    floor (0.9071044921875 × 4096)
    floor (3715.5)     		tx = 3715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8978271484375 × 212)
    floor (0.8978271484375 × 4096)
    floor (3677.5)     		ty = 3677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3715 / 3677 ti = "12/3715/3677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3715/3677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3715 ÷ 212
    3715 ÷ 4096     		x = 0.906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3677 ÷ 212
    3677 ÷ 4096     		y = 0.897705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906982421875 × 2 - 1) × π
    0.81396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55714597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897705078125 × 2 - 1) × π
    -0.79541015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.49885470339429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55714597} λ = 2.55714597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49885470339429))-π/2
    2×atan(0.0821790641503846)-π/2
    2×0.0819948141724201-π/2
    0.16398962834484-1.57079632675     		φ = -1.40680670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55714597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40680670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.604087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3715 KachelY 3677 2.55714597 -1.40680670 146.513672 -80.604087
    Oben rechts KachelX + 1 3716 KachelY 3677 2.55867995 -1.40680670 146.601562 -80.604087
    Unten links KachelX 3715 KachelY + 1 3678 2.55714597 -1.40705694 146.513672 -80.618424
    Unten rechts KachelX + 1 3716 KachelY + 1 3678 2.55867995 -1.40705694 146.601562 -80.618424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40680670--1.40705694) × R
    0.000250239999999957 × 6371000     		dl = 1594.27903999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40680670--1.40705694) × R
    0.000250239999999957 × 6371000     		dr = 1594.27903999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55714597-2.55867995) × cos(-1.40680670) × R
    0.00153398000000005 × 0.163255596645971 × 6371000     		do = 1595.49475513101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55714597-2.55867995) × cos(-1.40705694) × R
    0.00153398000000005 × 0.163008708804902 × 6371000     		du = 1593.08192357348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40680670)-sin(-1.40705694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163255596645971-0.163008708804902)×R²
    abs(2.55867995-2.55714597)×0.000246887841069077×R²
    0.00153398000000005×0.000246887841069077×6371000²
    0.00153398000000005×0.000246887841069077×40589641000000     		ar = 2541740.49640915m²