Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3715 / 2177
↖ ↑ ↗
← N 78.625673°
W 98.371582°		 ← 481.86 m → N 78.625673°
W 98.349609°		 →
↑
481.97 m
↓
↑
481.97 m
↓
N 78.621339°
W 98.371582°		 ← 482.04 m →
232 283 m²		 N 78.621339°
W 98.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226776123046875 y=0.132904052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226776123046875 × 214)
    floor (0.226776123046875 × 16384)
    floor (3715.5)     		tx = 3715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132904052734375 × 214)
    floor (0.132904052734375 × 16384)
    floor (2177.5)     		ty = 2177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3715 / 2177 ti = "14/3715/2177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3715/2177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3715 ÷ 214
    3715 ÷ 16384     		x = 0.22674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2177 ÷ 214
    2177 ÷ 16384     		y = 0.13287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.5465087890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71690800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13287353515625 × 2 - 1) × π
    0.7342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3067236097171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71690800} λ = -1.71690800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3067236097171))-π/2
    2×atan(10.0414709220924)-π/2
    2×1.47153659841444-π/2
    2.94307319682888-1.57079632675     		φ = 1.37227687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71690800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37227687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.625673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3715 KachelY 2177 -1.71690800 1.37227687 -98.371582 78.625673
    Oben rechts KachelX + 1 3716 KachelY 2177 -1.71652450 1.37227687 -98.349609 78.625673
    Unten links KachelX 3715 KachelY + 1 2178 -1.71690800 1.37220122 -98.371582 78.621339
    Unten rechts KachelX + 1 3716 KachelY + 1 2178 -1.71652450 1.37220122 -98.349609 78.621339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37227687-1.37220122) × R
    7.56500000000937e-05 × 6371000     		dl = 481.966150000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37227687-1.37220122) × R
    7.56500000000937e-05 × 6371000     		dr = 481.966150000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71690800--1.71652450) × cos(1.37227687) × R
    0.000383500000000092 × 0.197218082670442 × 6371000     		do = 481.858701200029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71690800--1.71652450) × cos(1.37220122) × R
    0.000383500000000092 × 0.197292246312964 × 6371000     		du = 482.039903633286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37227687)-sin(1.37220122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197218082670442-0.197292246312964)×R²
    abs(-1.71652450--1.71690800)×7.41636425226622e-05×R²
    0.000383500000000092×7.41636425226622e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.41636425226622e-05×40589641000000     		ar = 232283.249893009m²