Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37148 / 38585
↖ ↑ ↗
← S 30.415519°
E 24.060059°		 ← 526.73 m → S 30.415519°
E 24.065552°		 →
↑
526.75 m
↓
↑
526.75 m
↓
S 30.420256°
E 24.060059°		 ← 526.70 m →
277 450 m²		 S 30.420256°
E 24.065552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566841125488281 y=0.588768005371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566841125488281 × 216)
    floor (0.566841125488281 × 65536)
    floor (37148.5)     		tx = 37148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588768005371094 × 216)
    floor (0.588768005371094 × 65536)
    floor (38585.5)     		ty = 38585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37148 / 38585 ti = "16/37148/38585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37148/38585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37148 ÷ 216
    37148 ÷ 65536     		x = 0.56683349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38585 ÷ 216
    38585 ÷ 65536     		y = 0.588760375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56683349609375 × 2 - 1) × π
    0.1336669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41992724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588760375976562 × 2 - 1) × π
    -0.177520751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.557697890179733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41992724} λ = 0.41992724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557697890179733))-π/2
    2×atan(0.572525564627389)-π/2
    2×0.519972687563935-π/2
    1.03994537512787-1.57079632675     		φ = -0.53085095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41992724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.060059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53085095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.415519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37148 KachelY 38585 0.41992724 -0.53085095 24.060059 -30.415519
    Oben rechts KachelX + 1 37149 KachelY 38585 0.42002311 -0.53085095 24.065552 -30.415519
    Unten links KachelX 37148 KachelY + 1 38586 0.41992724 -0.53093363 24.060059 -30.420256
    Unten rechts KachelX + 1 37149 KachelY + 1 38586 0.42002311 -0.53093363 24.065552 -30.420256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53085095--0.53093363) × R
    8.26800000000016e-05 × 6371000     		dl = 526.75428000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53085095--0.53093363) × R
    8.26800000000016e-05 × 6371000     		dr = 526.75428000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41992724-0.42002311) × cos(-0.53085095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862376574583838 × 6371000     		do = 526.72906489029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41992724-0.42002311) × cos(-0.53093363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862334713450655 × 6371000     		du = 526.703496622103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53085095)-sin(-0.53093363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862376574583838-0.862334713450655)×R²
    abs(0.42002311-0.41992724)×4.18611331836072e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18611331836072e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18611331836072e-05×40589641000000     		ar = 277450.055391726m²